Không gian tích trong

Biểu diễn hình học của góc giữa hai vectơ, được định nghĩa bởi tích trong.

Các không gian tích vô hướng trên một trường bất kỳ có trang bị các "tích vô hướng" đối xứng và tuyến tính với đối số thứ nhất. Không gian tích Hermite được giới hạn trong trường số phức và có "tích Hermite" đối xứng liên hợp và tuyến tính với đối số thứ nhất. Không gian tích trong có thể được định nghĩa trên một trường bất kỳ và có các "tích trong" tuyến tính với đối số thứ nhất, đối xứng liên hợp và xác định dương. Không giống như các tích trong, tích vô hướng và tích Hermite không nhất thiết phải có tính xác định dương.

Trong toán học, một không gian tích trong hay không gian Hausdorff tiền HilbertBản mẫu:SfnBản mẫu:Sfn là một không gian vectơ được trang bị một phép toán hai ngôi gọi là tích trong. Phép toán này liên kết mỗi cặp vectơ trong không gian với một đại lượng vô hướng gọi là tích trong của các vectơ, thường được ký hiệu bởi dấu bra-ket (ví dụ $⟨a,b⟩$.) Tích trong cho phép định nghĩa các khái niệm trực quan hình học như độ dài của một vectơ hay góc giữa hai vectơ. Chúng cũng cung cấp các cách định nghĩa tính trực giao giữa hai vectơ (tích trong bằng 0). Không gian tích trong tổng quát hóa không gian Euclid (trong đó tích trong chính là tích vô hướng) cho các không gian vectơ với số chiều bất kỳ (có thể vô hạn), và được nghiên cứu trong giải tích hàm. Không gian tích trong trên trường số phức đôi khi được gọi là không gian unita. Khái niệm không gian vectơ với một tích trong lần đầu tiên được sử dụng bởi Giuseppe Peano, vào năm 1898.

Một không gian tích trong thường tạo ra một chuẩn liên hệ với nó, (trong ảnh, |x| và |y| là các chuẩn của Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar), một cách chính tắc nó làm cho mọi không gian tích trong là không gian vectơ định chuẩn. Nếu không gian định chuẩn này cũng là một không gian Banach thì không gian tích trong được gọi là không gian Hilbert.Bản mẫu:Sfn Nếu một không gian tích trong Bản mẫu:Math không là không gian Hilbert thì nó có thể được "bổ sung" để trở thành không gian Hilbert Bản mẫu:Math, gọi là làm đầy đủ hóa. Nói một cách rõ ràng, điều này nghĩa là Bản mẫu:Math được nhúng tuyến tính và đẳng cự vào một không gian con trù mật của Bản mẫu:Math và sao cho tích trong Bản mẫu:Math trên Bản mẫu:Math là sự bổ sung liên tục của không gian tích trong ban đầu Bản mẫu:Math.Bản mẫu:SfnBản mẫu:Sfn

Định nghĩa

Trong bài này, trường vô hướng, ký hiệu Bản mẫu:Math là trường số thực $ℝ$ hoặc trường số phức $ℂ$.

Không gian tích trong, một cách chính thức là một không gian vectơ Bản mẫu:Math trên trường Bản mẫu:Math cùng với một ánh xạ

$⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to 𝔽$

gọi là một tích trong nếu nó thỏa mãn các điều kiện tiên đề (1), (2), và (3) sau đâyBản mẫu:Sfn đối với mọi vectơ Bản mẫu:Math và mọi vô hướng Bản mẫu:Math:

1. Tuyến tính đối với đối số thứ nhất

   $\begin{array}{cc}⟨ax,y⟩& =a⟨x,y⟩\\ ⟨x+y,z⟩& =⟨x,z⟩+⟨y,z⟩\end{array}$

   • Nếu điều kiện (1) được thỏa mãn và nếu tích $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ cũng là phản tuyến tính (còn gọi là tuyến tính liên hợp) đối với đối số thứ hai thì $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ được gọi là dạng nửa tuyến tính (sesquilinear form).Bản mẫu:Sfn
2. Bản mẫu:Em hay Bản mẫu:Em:

   $⟨x,y⟩=\overline{⟨y,x⟩}$

   • Điều kiện (1) và (2) là các tính chất định nghĩa một dạng Hermite, là một loại đặc biệt của dạng nửa tuyến tính.Bản mẫu:Sfn Một dạng nửa tuyến tính là Hermite khi và chỉ khi $⟨x,x⟩$ là thực với mọi Bản mẫu:Mvar.Bản mẫu:Sfn Cụ thể, từ điều kiện (2) suy ra rằng $⟨x,x⟩$ là một số thực với mọi Bản mẫu:Mvar.
3. Bản mẫu:Em:Bản mẫu:Sfn

   $⟨x,x⟩>0,\text{ nếu }x\ne 0.$

Ba điều kiện trên là các tính chất định nghĩa một tích trong, đó là lý do tại sao tích trong đôi khi được định nghĩa (một cách tương đương) là một dạng Hermite xác định dương. Một tích trong có thể được định nghĩa một cách tương đương là một dạng nửa tuyến tính xác định dương.Bản mẫu:Sfn

Giả thiết rằng (1) được thỏa mãn, điều kiện (3) cũng sẽ được thỏa mãn khi và chỉ khi hai điều kiện thêm (4) và (5) dưới đây được thỏa mãn:Bản mẫu:SfnBản mẫu:Sfn

1. Bản mẫu:Em hay Bản mẫu:Em:Bản mẫu:Sfn

   $⟨x,x⟩\ge 0$

   • Các điều kiện (1), (2), và (4) là các tính chất định nghĩa một Bản mẫu:Em, cho phép ta định nghĩa một nửa chuẩn trên Bản mẫu:Mvar được cho bởi Bản mẫu:Math. Nửa chuẩn này là một chuẩn khi và chỉ khi điều kiện (5) được thỏa mãn.
2. Bản mẫu:Em hay Bản mẫu:Em:

   $⟨x,x⟩=0\text{ suy ra }x=0.$

Các điều kiện (1) đến (5) được thỏa mãn bởi mọi tích trong.

Tính chất sơ cấp

Tính xác định dương và tuyến tính tương ứng đảm bảo rằng:

$\begin{array}{cc}⟨x,x⟩& =0\Rightarrow x=\mathrm{𝟎}\\ ⟨\mathrm{𝟎},x⟩& =⟨0x,x⟩=0⟨x,x⟩=0\end{array}$

Từ tính đối xứng liên hợp suy ra Bản mẫu:Math là thực với mọi Bản mẫu:Math, bởi vì

$⟨x,x⟩=\overline{⟨x,x⟩}.$

Tính đối xứng liên hợp và tuyến tính đối với đối số thứ nhất dẫn đến

$\begin{array}{cc}⟨x,ay⟩& =\overline{⟨ay,x⟩}=\bar{a}\overline{⟨y,x⟩}=\bar{a}⟨x,y⟩\\ ⟨x,y+z⟩& =\overline{⟨y+z,x⟩}=\overline{⟨y,x⟩}+\overline{⟨z,x⟩}=⟨x,y⟩+⟨x,z⟩\end{array}$

đây tức là tính tuyến tính liên hợp đối với đối số thứ hai. Vì vậy, một không gian tích trong là một dạng nửa tuyến tính.

Có thể suy ra tổng quát hóa sau đây của khai triển bình phương của tổng:

$⟨x+y,x+y⟩=⟨x,x⟩+⟨x,y⟩+⟨y,x⟩+⟨y,y⟩.$

Các tính chất sau đây hợp thành tính tuyến tính đối với đối số thứ nhất và thứ hai:

$\begin{array}{cc}⟨x+y,z⟩& =⟨x,z⟩+⟨y,z⟩,\\ ⟨x,y+z⟩& =⟨x,y⟩+⟨x,z⟩\end{array}$

còn được gọi là tính cộng.

Với trường hợp $𝔽=ℝ,$ tính đối xứng liên hợp được đơn giản về tính đối xứng, còn tính nửa tuyến tính trở thành tính song tuyến. Vì thế một tích trong trên một không gian vectơ thực là một Bản mẫu:Em. Tức là,

$\begin{array}{cc}⟨x,y⟩& =⟨y,x⟩\\ \Rightarrow ⟨-x,x⟩& =⟨x,-x⟩,\end{array}$

và khai triển nhị thức trở thành:

$⟨x+y,x+y⟩=⟨x,x⟩+2⟨x,y⟩+⟨y,y⟩.$

Định nghĩa, ký hiệu khác và chú thích

Một trường hợp đặc biệt thường gặp của tích trong là tích vô hướng của hai vectơ, thường được ký hiệu bởi dấu chấm ở giữa $a\cdot b.$

Một số tác giả, đặc biệt trong lĩnh vực vật lý và đại số ma trận thường định nghĩa tích trong và dạng nửa tuyến tính nhưng với tính tuyến tính của nó là ở đối số thứ hai thay vì thứ nhất. Vậy đối số thứ nhất có tính tuyến tính liên hợp thay vì thứ hai. Trong các ngành này chúng ta thường viết tích trong $⟨x,y⟩$ là $⟨y\mid x⟩$ (ký hiệu bra-ket của cơ học lượng tử), tương ứng là Bản mẫu:Math (tích vô hướng với quy ước lập tích ma trận Bản mẫu:Math, lấy hàng của Bản mẫu:Mvar nhân cột của Bản mẫu:Mvar).

Một số ví dụ

Số thực

Ví dụ đơn giản nhất là các số thực với tích thông thường giữa các số là tích trong

$⟨x,y⟩=xy.$

Không gian vectơ Euclid

Tổng quát, [[Không gian tọa độ thực|không gian thực Bản mẫu:Math chiều]] ${ℝ}^n$ với tích vô hướng là một không gian tích trong, là một ví dụ của không gian vectơ Euclid.

$⟨\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right]⟩=x^{\mathsf{\text{T}}}y=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i=x_1{y}_1+\cdots +x_n{y}_n,$

trong đó Bản mẫu:Math là chuyển vị của Bản mẫu:Math.

Không gian tọa độ phức

Dạng tổng quát của một tích trong trên ${ℂ}^n$ được gọi là dạng Hermite và được cho bởi

$⟨x,y⟩=y^{†}𝐌x=\overline{x^{†}𝐌y},$

trong đó Bản mẫu:Math là một ma trận Hermite nửa xác định dương và Bản mẫu:Math là chuyển vị liên hợp của Bản mẫu:Math.

Tích trong phức thường gặp nhất là tích vô hướng chính tắc phức, trong đó ma trận Bản mẫu:Math được chọn là ma trận đơn vị.

Không gian Hilbert

Bài viết về không gian Hilbert có một số ví dụ về không gian tích trong, trong đó metric được tạo bởi tích trong tạo ra không gian metric đầy đủ. Một ví dụ của không gian tích trong tạo ra một metric không đầy đủ là không gian $C([a,b])$ của các hàm giá trị phức liên tục $f$ và $g$ trên đoạn $[a,b].$ Tích trong của chúng là

$⟨f,g⟩=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\overline{g(t)}\mathrm{d}t.$

Không gian này là không đầy đủ; lấy ví dụ, trên đoạn [−1; 1] với dãy hàm "bước" liên tụcBản mẫu:Math được xác định bởi:

$f_k(t)=\{\begin{array}{cc}0& t\in [-1,0]\\ 1& t\in [\frac{1}{k},1]\\ kt& t\in (0,\frac{1}{k})\end{array}$

Dãy này là một dãy Cauchy với chuẩn tạo bởi tích trong trước không hội tụ thành hàm liên tục.

Biến ngẫu nhiên

Với hai biến ngẫu nhiên Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math, giá trị kỳ vọng của tích của chúng là một tích trong.

$⟨X,Y⟩=\mathrm{E}(XY)$

Trong trường hợp này, Bản mẫu:Math khi và chỉ khi Bản mẫu:Math (tức là gần như chắc chắn Bản mẫu:Math). Định nghĩa tích trong dưới dạng giá trị kỳ vọng này còn có thể được mở rộng đối với các vectơ tự do.

Ma trận thực

Với hai ma trận thực vuông cùng cỡ, Bản mẫu:Math với chuyển vị chính là phép liên hợp, tức là

$(⟨A,B⟩=⟨B^{\mathsf{\text{T}}},A^{\mathsf{\text{T}}}⟩)$

là một tích trong.

Chuẩn

Không gian tích trong là không gian vectơ định chuẩn với chuẩn (norm) được định nghĩa bởi

$\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}.$

Vì với mọi không gian vectơ định chuẩn, không gian tích vô hướng là không gian metric với khoảng cách được định nghĩa bởi

$d(x,y)=\Vert y-x\Vert .$

Các tiên đề của tích trong đảm bảo rằng ánh xạ trên tạo ra một chuẩn, có các tính chất sau.Bản mẫu:Glossary Bản mẫu:TermBản mẫu:Defn Bản mẫu:TermBản mẫu:Defn Bản mẫu:TermBản mẫu:Defn Bản mẫu:TermBản mẫu:Defn Bản mẫu:TermBản mẫu:Defn Bản mẫu:TermBản mẫu:Defn Bản mẫu:TermBản mẫu:Defn Bản mẫu:TermBản mẫu:Defn Bản mẫu:TermBản mẫu:Defn Bản mẫu:Glossary end

Xem thêm

• Dạng song tuyến tính
• Không gian Hilbert
• Không gian đối ngẫu

Tham khảo sách

• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách