Tập trù mật

Khái niệm trù mật là một khái niệm tô pô. Giả sử $A$ và $B$ là 2 tập con trong không gian tôpô $X$. Ta nói tập $A$ trù mật trong tập $B$ nếu $B=\overline{A}$, trong đó $\overline{A}$ là ký hiệu bao đóng của tập A. Thêm nữa, tập A được gọi là trù mật khắp nơi nếu A trù mật trong toàn không gian X. Để dễ hình dung, ta xét trường hợp đặc biệt trong không gian mêtric X thì định nghĩa trên được phát biểu lại trực quan như sau: Tập A trù mật trong B nếu mỗi phần tử $x\in B$ và với $ϵ>0,\mathrm{\exists }y\in A:d(y,x)<ϵ$ trong đó ký hiệu d(x,y) là khoảng cách giữa 2 điểm (phần tử) x và y.

Nói một cách nôm na rằng, tập A trù mật trong B nếu mọi phần tử trong B đều bị kiểm soát bởi những phần tử trong A với khoảng cách bé tùy ý, tức là, cứ lấy mỗi phần tử $x\in B$ làm tâm, quay một vòng tròn bán kính $ϵ>0$ tùy ý thì thế nào trong hình tròn này cũng có mặt một phần tử $y\in A$

Hay đơn giản hơn:

Tập trù mật A nghĩa là nếu $\bar{A}$ đóng trong $A$ thì A trù mật trong $\bar{A}$.Bao đóng của A chính là phần bù của A.

Ví dụ

• Tập số hữu tỉ, Tập số vô tỉ là 2 tập trù mật trong tập số thực.
• Với tô pô hội tụ đều trên các tập compact, tập các đa thức một biến trù mật trong không gian hàm một biến liên tục.
• Theo chuẩn hội tụ trung bình bình phương, tập các đa thức một biến, đa thức lượng giác, hàm một biến liên tục là 3 tập trù mật trong không gian các hàm bình phương khả tích Lebesgue.
• Một điểm ge-ne-ric của một không gian tô pô $X$ là một điểm $p$ sao cho $\{p\}$ trù mật trong $X$.