Elip

Một hình elip (đỏ) bao quanh mặt cắt của một hình nón với một mặt phẳng nghiêng

Các thành phần của hình elip

Các hình elip với tâm sai tăng dần

Trong toán học, một hình elip là một đường cong phẳng xung quanh hai tiêu điểm, sao cho với mọi điểm trên đường cong, tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm là hằng số. Hình tròn là trường hợp đặc biệt của đường elip khi hai tiêu điểm trùng nhau. Độ dẹt của hình elip được biểu diễn bằng tâm sai Bản mẫu:Mvar của nó, chạy từ Bản mẫu:Math (trường hợp của đường tròn) đến Bản mẫu:Math (độ dẹt vô hạn, không còn là elip mà là một parabol).

Phương trình chính tắc của một elip với tâm là gốc tọa độ và chiều dài Bản mẫu:Math và chiều rộng Bản mẫu:Math là:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

Giả sử Bản mẫu:Math, các tiêu điểm có tọa độ Bản mẫu:Math với $c=\sqrt{a^2-b^2}$. Phương trình tham số của elip là:

$(x,y)=(a\cos (t),b\sin (t))0\le t\le 2\pi .$

Elip là một loại đường conic đóng: một đường cong phẳng bao quanh mặt cắt của một hình nón với một mặt phẳng nghiêng (xem hình bên). Elip có nhiều điểm tương đồng với hai đường conic khác là parabol và hyperbol, cả hai đều hở và không có giới hạn. Một mặt cắt nghiêng của một hình trụ tròn cũng có hình elip.

Một hình elip cũng có thể được định nghĩa chỉ với một tiêu điểm và một đường thẳng nằm ngoại elip gọi là đường chuẩn: elip là quỹ tích các điểm có tỉ số khoảng cách tới tiêu điểm và đường chuẩn là hằng số. Hằng số tỉ lệ này chính là tâm sai của elip được tạo thành:

$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$.

Hình elip rất thông dụng trong vật lý, thiên văn và kỹ thuật. Ví dụ, quỹ đạo của mỗi hành tinh trong hệ Mặt Trời gần giống một hình elip với Mặt Trời là một tiêu điểm (chính xác, tiêu điểm là tâm tỉ cự của cặp Mặt TrờiBản mẫu:Ndashhành tinh). Quỹ đạo của mặt trăng xoay quanh hành tinh và tất cả cả hệ hai thiên thể khác đều như thế. Hình dạng của các hành tinh và sao thường được mô tả bằng hình ellipsoid. Một hình tròn nhìn từ một góc nghiêng trông giống một hình elíp, tức hình elip là ảnh của hình tròn qua một phép chiếu song song hay vuông góc. Hình elip cũng là dạng đường cong Lissajous đơn giản nhất, với chuyển động theo chiều ngang và dọc là các đường hình sin với cùng tần số. Hiện tượng tương tự dẫn đến phân cực elip của ánh sáng trong quang học.

Từ nguyên

Tên gọi "elíp" (tiếng Anh: ellipse), xuất phát từ tiếng Hy Lạp cổ đại: Bản mẫu:Lang (Bản mẫu:Transl, "thiếu"), được đưa ra bởi Apollonius xứ Perga trong quyển Conics của ông.

Định nghĩa quỹ tích

Elíp định nghĩa bằng tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm

Elíp định nghĩa bằng tiêu điểm và đường tròn chuẩn

Một đường elíp có thể được xác định là tập hợp hay quỹ tích các điểm trên mặt phẳng Euclid:

Với hai điểm cố định Bản mẫu:Math gọi là tiêu điểm và một khoảng cách Bản mẫu:Math lớn hơn khoảng cách giữa hai tiêu điểm, đường elíp là quỹ tích các điểm Bản mẫu:Mvar sao cho tổng các khoảng cách Bản mẫu:Math bằng Bản mẫu:Math. Tức là

$E=\{P\in {ℝ}^2:|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a\}.$

Trung điểm Bản mẫu:Mvar của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm gọi là tâm của elíp. Đường thẳng nối hai tiêu điểm là trục lớn, và đường vuông góc với nó đi qua tâm là trục bé. Các trục của hình elíp cắt elíp tại bốn điểm, gọi là các đỉnh của elíp. Độ dài đoạn thẳng Bản mẫu:Math được gọi là tiêu cự, và Bản mẫu:Mvar là bán tiêu cự. Tỉ số Bản mẫu:Math được gọi là độ lệch tâm hay tâm sai.

Trường hợp Bản mẫu:Math cho ta một đường tròn, trường hợp đặc biệt của elíp.

Phương trình Bản mẫu:Math có thể được xem theo cách khác:

Nếu Bản mẫu:Math là đường tròn với tâm là Bản mẫu:Math và bán kính Bản mẫu:Math thì quỹ tích các điểm Bản mẫu:Mvar có khoảng cách đến đường tròn Bản mẫu:Math bằng khoảng cách đến tiêu điểm Bản mẫu:Math tạo thành một đường elíp:

$E=\{P\in {ℝ}^2:|P{F}_1|=|P{c}_2|\}.$

Đường tròn Bản mẫu:Math gọi là đường tròn chuẩn (với tâm là tiêu điểm Bản mẫu:Math) của elíp. Ngoài ra, còn một định nghĩa thường dùng của elíp sử dụng đường chuẩn được nêu ở dưới.

Sử dụng mặt cầu Dandelin, ta có thể chứng minh bất kì mặt cắt nghiêng của một hình nón là một hình elíp, với điều kiện mặt phẳng cắt không đi qua đỉnh và có độ dốc bé hơn độ dốc đường sinh của mặt nón.

Hệ tọa độ Descartes

Các tham số của hình elípBản mẫu:Ubl

Phương trình chính tắc

Trong suốt phần còn lại của bài, Bản mẫu:Math là elip trong hệ tọa độ Descartes với tâm tại gốc tọa độ, trục lớn là trục Bản mẫu:Mvar và

tiêu điểm là Bản mẫu:Math,

các đỉnh là Bản mẫu:Math,

trong đó Bản mẫu:Math.

Với một điểm có tọa độ Bản mẫu:Math nằm trên elíp Bản mẫu:Math, bán kính qua tiêu điểm Bản mẫu:Math là $\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}$ và bán kính qua tiêu điểm còn lại là $\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}$. Do điểm Bản mẫu:Math nằm trên elip nên

$\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}+\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}=2a.$

Biến đổi thích hợp và đặt ẩn phụ Bản mẫu:Math cho ta phương trình chính tắc của elip Bản mẫu:Math: Bản mẫu:NumBlk

Giải tìm Bản mẫu:Mvar, ta được

$y=\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}=\pm \sqrt{(a^2-x^2)(1-e^2)}.$

Chiều rộng và chiều cao Bản mẫu:Math được gọi là bán trục lớn và bán trục bé của elip. Bán kính qua tiêu điểm trái và phải của Bản mẫu:Math lần lượt là Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math.

Từ phương trình này dễ thấy hình elip đối xứng qua các trục tọa độ và qua gốc tọa độ.

Chứng minh phương trình chính tắc

Từ phương trình tổng khoảng cách

$\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}+\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}=2a$

Chuyển vế một dấu căn rồi bình phương hai vế, ta được

$(x-c{)}^2+y^2=4a^2+(x+c{)}^2+y^2-4a\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}$

Rút gọn phương trình trên cho ta

$\begin{array}{cc}{a}^2+cx& =a\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}\\ {(a^2+cx)}^2& =a^2[(x+c{)}^2+y^2]\\ \end{array}$

Rút gọn phương trình trên và sắp xếp lại các hạng tử, ta được:

$a^2(a^2-c^2)=(a^2-c^2)x^2+a^2{y}^2$

Đặt Bản mẫu:Math rồi chia cả hai vế của phương trình trên cho ta Bản mẫu:Math, ta được phương trình chính tắc của elip.

Bán trục lớn và bé

Trong suốt bài viết này, Bản mẫu:Mvar sẽ là bán trục lớn còn Bản mẫu:Mvar là bán trục bé, tức Bản mẫu:Math. Trong dạng chính tắc của elip Bản mẫu:EquationNote, nếu Bản mẫu:Math thì elip sẽ dài chứ không dẹt.

Bán tiêu cự

Bán tiêu cự Bản mẫu:Mvar là khoảng cách từ một tiêu điểm đến tâm elíp: $c=\sqrt{a^2-b^2}$.

Độ lệch tâm

Độ lệch tâm hay tâm sai Bản mẫu:Mvar là

$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}$,

với điều kiện Bản mẫu:Math. Một elip với hai trục bằng nhau (Bản mẫu:Math) có tâm sai bằng 0, và là một đường tròn. Một elíp với trục bé bằng 0 có tâm sai bằng 1, và là một parabol.

Bán trục bên

Độ dài của dây cung qua một tiêu điểm và vuông góc với trục lớn được gọi là trục bên (tiếng Anh: latus rectum). Một nửa độ dài đó là bán trục bên, thường được ký hiệu là Bản mẫu:Mvar và bằng

$\ell =\frac{b^2}{a}=a(1-e^2).$

Bán trục bên Bản mẫu:Mvar bằng bán kính cong của đường tròn mật tiếp elíp tại các đỉnh trên trục lớn.

Tiếp tuyến

Một đường thẳng Bản mẫu:Mvar tùy ý cắt elíp tại 2 điểm gọi là cát tuyến, tại 1 điểm là tiếp tuyến. Tiếp tuyến của elíp Bản mẫu:Math tại điểm Bản mẫu:Math có phương trình tọa độ là:

$\frac{x_1}{a^2}x+\frac{y_1}{b^2}y=1.$

Phương trình tham số của tiếp tuyến này là:

$\{\begin{array}{c}x=x_1-y_1{a}^{2}t\\ y=y_1+x_1{b}^{2}t\end{array}(t\in ℝ)$

Hoặc viết theo dạng vectơ thì:

$\overrightarrow{d}=(x_1,y_1)+t(-y_1{a}^2,x_1{b}^2).$

Nếu hai điểm trên elíp Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math thỏa $\frac{x_1{x}_2}{a^2}+\frac{y_{1}v}{b^2}=0$, thì chúng nằm trên hai đường kính liên hợp (xem ở dưới). Nếu Bản mẫu:Math, elip là hình tròn và "liên hợp" ở đây là "vuông góc".

Chứng minh

Xét điểm Bản mẫu:Math nằm trên elíp Bản mẫu:Math và $\overrightarrow{d}=(x_1,y_1)+t(u,v)$ là phương trình đường thẳng Bản mẫu:Mvar bất kỳ đi qua Bản mẫu:Math. Như vậy một điểm Bản mẫu:Mvar nằm trên đường thẳng Bản mẫu:Mvar có tọa độ Bản mẫu:Math. Giả sử điểm Bản mẫu:Mvar cũng nằm trên elíp Bản mẫu:Math. Thay tọa độ của Bản mẫu:Mvar vào phương trình chính tắc của elíp Bản mẫu:EquationNote, ta được

$\begin{array}{cc}\frac{{(x_1+tu)}^2}{a^2}+\frac{{(y_1+tv)}^2}{b^2}& =1\\ \Rightarrow 2t(\frac{x_{1}u}{a^2}+\frac{y_{1}v}{b^2})+t^2(\frac{u^2}{a^2}+\frac{v^2}{b^2})& =0\end{array}$

Đến đây ta có hai trường hợp:

1. $\frac{x_1}{a^2}u+\frac{y_1}{b^2}v=0.$ Tức Bản mẫu:Math, hay Bản mẫu:Mvar chính là Bản mẫu:Math. Nói cách khác, đường thẳng Bản mẫu:Mvar chỉ cắt elíp tại một điểm duy nhất là Bản mẫu:Math, tức Bản mẫu:Mvar là tiếp tuyến tại đó. Vectơ pháp tuyến của Bản mẫu:Mvar là $\left(\begin{array}{c}\frac{x_1}{a^2},\frac{y_1}{b^2}\end{array}\right)$, do đó phương trình tiếp tuyến là $\frac{x_1}{a^2}x+\frac{y_1}{b^2}y=k$ với một số Bản mẫu:Mvar nào đó. Vì Bản mẫu:Math nằm trên tiếp tuyến đó, thế vào ta được Bản mẫu:Math.
2. $\frac{x_1}{a^2}u+\frac{y_1}{b^2}v\ne 0.$ Khi ấy đường thẳng Bản mẫu:Mvar cắt elíp tại hai điểm, tương ứng với $t=0$ và $t=-2(\frac{x_{1}u}{a^2}+\frac{y_{1}v}{b^2}){(\frac{u^2}{a^2}+\frac{v^2}{b^2})}^{-1}.$ Tức Bản mẫu:Mvar là cát tuyến qua elíp Bản mẫu:Math.

Tâm khác gốc tọa độ

Nếu elíp chuẩn trên có tâm tại Bản mẫu:Math thì phương trình chính tắc của nó là:

$\frac{{(x-x_0)}^2}{a^2}+\frac{{(y-y_0)}^2}{b^2}=1.$

Các trục của elíp vẫn song song với trục Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar.

Elíp tổng quát

Trong hình học giải tích, hình elíp là một mặt bậc hai: tập hợp các điểm $(X,Y)$ trên mặt phẳng Descartes thỏa mãn phương trình ẩn

với điều kiện $B^2-4AC<0.$

Để phân biệt với trường hợp suy biến, đặt Bản mẫu:Mvar là định thức

$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}A& \frac{1}{2}B& \frac{1}{2}D\\ \frac{1}{2}B& C& \frac{1}{2}E\\ \frac{1}{2}D& \frac{1}{2}E& F\end{array}\right|=(AC-\frac{B^2}{4})F+\frac{BED}{4}-\frac{C{D}^2}{4}-\frac{A{E}^2}{4}.$

Khi ấy hình elíp là một elíp thực (tức Bản mẫu:EquationNote có nghiệm thực) không suy biến khi và chỉ khi Bản mẫu:Math. Nếu Bản mẫu:Math, phương trình không có nghiệm thực, và nếu Bản mẫu:Math, elíp suy biến thành một điểm.Bản mẫu:Rp

Nếu một elíp có bán trục lớn Bản mẫu:Mvar, bán trục bé Bản mẫu:Mvar, tọa độ của tâm là Bản mẫu:Math, và góc quay Bản mẫu:Mvar (góc giữa trục Bản mẫu:Mvar dương đến bán trục lớn của elíp) thì hệ số của phương trình Bản mẫu:EquationNote là:

$\begin{array}{cc}A& =a^2(\sin \varphi {)}^2+b^2(\cos \varphi {)}^2\\ B& =(b^2-a^2)\sin 2\varphi \\ C& =a^2(\cos \varphi {)}^2+b^2(\sin \varphi {)}^2\\ D& =-2A{x}_0-B{y}_0\\ E& =-B{x}_0-2C{y}_0\\ F& =A{x}_0^2+B{x}_0{y}_0+C{y}_0^2-a^2{b}^2.\end{array}$

Những biểu thức này có thể suy ra từ phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ bằng phép biến đổi afin của tọa độ:

$\begin{array}{cc}x& =(X-x_0)\cos \varphi +(Y-y_0)\sin \varphi \\ y& =-(X-x_0)\sin \varphi +(Y-y_0)\cos \varphi .\end{array}$

Ngược lại, từ phương trình tổng quát Bản mẫu:EquationNote ta có thể suy ra phương trình chính tắc như sau:

$\begin{array}{cc}a,b& =\frac{-\sqrt{-2\mathrm{\Delta }((A+C)\pm \sqrt{(A-C{)}^2+B^2})}}{B^2-4AC}\\ x_0& =\frac{2CD-BE}{B^2-4AC}\\ y_0& =\frac{2AE-BD}{B^2-4AC}\\ \varphi & =\{\begin{array}{cc}\arctan \left(\frac{1}{B}(C-A-\sqrt{{(A-C)}^2+B^2})\right)& B\ne 0\\ 0& B=0,A<C\\ 90^{\circ }& B=0,A>C\end{array}\end{array}$

Biểu diễn tham số

Quỹ tích các điểm theo phương trình tham số và ý nghĩa của tham số Bản mẫu:Mvar, được Philippe de la Hire đưa ra

Các điểm trên elíp tính bằng biểu diễn hữu tỉ với các tham số cách đều nhau (Bản mẫu:Math).

Biểu diễn tham số chính tắc

Sử dụng các hàm lượng giác, biểu diễn tham số của elíp chuẩn $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ là:

$\{\begin{array}{c}x=a\cos t\\ y=b\sin t\end{array}0\le t<2\pi .$

Tham số Bản mẫu:Mvar (gọi là dị thường lệch tâm trong thiên văn học) không phải là góc giữa điểm Bản mẫu:Math với trục hoành, mà có ý nghĩa hình do Philippe de La Hire đưa ra (xem Vẽ elíp ở dưới).

Biểu diễn hữu tỉ

Bằng phép đổi biến $u=\tan \left(\frac{t}{2}\right)$, ta được các biểu thức hữu tỉ cho các hàm lượng giác:

$\cos t=\frac{1-u^2}{u^2+1},\sin t=\frac{2u}{u^2+1}$

và phương trình tham số hữu tỉ của hình elíp

$\begin{array}{cc}x(u)& =a\frac{1-u^2}{u^2+1}\\ y(u)& =\frac{2bu}{u^2+1}\end{array},u\in ℝ.$

Phương trình trên cho ta tất cả các điểm trên elíp chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ngoại trừ đỉnh trái Bản mẫu:Math

Với $u\in [0,1]$, công thức này biểu diễn góc phần tư thứ nhất (phần trên bên phải) của hình elíp, đi ngược chiều kim đồng hồ khi Bản mẫu:Mvar tăng dần. Đỉnh bên trái Bản mẫu:Math là giới hạn $\underset{u\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }(x(u),y(u)).$

Dạng hữu tỉ của các đường conic thường được dùng trong các phần mềm CAD (xem đường cong Bézier).

Độ dốc tiếp tuyến làm tham số

Một biểu diễn tham số khác sử dụng độ dốc Bản mẫu:Mvar của tiếp tuyến tại điểm Bản mẫu:Math. Độ dốc này có thể được tính từ đạo hàm của phương trình tham số ở trên. Cụ thể là:

$\begin{array}{cc}\frac{dy}{dx}& =\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{b\cos t}{-a\sin t}\\ \Rightarrow m& =-\frac{b}{a}\cot t\Rightarrow \cot t=-\frac{ma}{b}\end{array}$

Sử dụng các đẳng thức lượng giác ta tính được:

$\cos t=\frac{\cot t}{\pm \sqrt{1+{\cot }^{2}t}}=\frac{-ma}{\pm \sqrt{m^2{a}^2+b^2}},\sin t=\frac{1}{\pm \sqrt{1+{\cot }^{2}t}}=\frac{b}{\pm \sqrt{m^2{a}^2+b^2}}.$

Thay các biểu thức trên cho Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math trong dạng tham số chuẩn ở trên, ta được:

$\{\begin{array}{c}x=\frac{-m{a}^2}{\pm \sqrt{m^2{a}^2+b^2}}\\ y=\frac{b^2}{\pm \sqrt{m^2{a}^2+b^2}}\end{array}m\in ℝ.$

Ở đây Bản mẫu:Mvar là độ dốc của tiếp tuyến tại điểm trên elíp. Khi dấu trước căn thức ở dưới mẫu là dương, điểm Bản mẫu:Math thuộc nửa trên của elíp, ngược lại nếu dấu âm thì điểm đó thuộc nửa dưới của elíp. Hai đỉnh trái phải Bản mẫu:Math không được biểu diễn do có tiếp tuyến thẳng đứng (độ dốc là vô cùng).

Phương trình tiếp tuyến tại điểm Bản mẫu:Math có dạng Bản mẫu:Math. Hệ số tự do Bản mẫu:Mvar có thể được xác định bằng cách thay tọa độ của điểm trên elíp tương ứng, cho ta:

$y=mx\pm \sqrt{m^2{a}^2+b^2}.$

Phương trình tiếp tuyến này có thể được dùng để xác định phương khuy của hình elíp.

Elíp tổng quát

Elíp tổng quát dưới dạng ảnh afin của đường tròn đơn vị

Một định nghĩa khác cho elíp sử dụng biến đổi afin là:

Một elíp bất kỳ là ảnh của một phép biến đổi afin của đường tròn đơn vị với phương trình $x^2+y^2=1$.

Biểu diễn tham số

Một phép biến đổi afin của mặt phẳng Euclid có dạng $\overrightarrow{x}\mapsto \overrightarrow{f}{}_0+A\overrightarrow{x}$, trong đó Bản mẫu:Mvar là một ma trận (với định thức khác không) và $\overrightarrow{f}{}_0$ là một vectơ bất kỳ. Nếu $\overrightarrow{f}{}_1,\overrightarrow{f}{}_2$ là các vectơ cột của ma trận Bản mẫu:Mvar, đường tròn đơn vị Bản mẫu:Math, trong đó Bản mẫu:Math, biến thành hình elíp: Bản mẫu:NumBlk

Ở đây $\overrightarrow{f}{}_0$ là tâm và $\overrightarrow{f}{}_1,\overrightarrow{f}{}_2$ là hướng của của hai đường kính liên hợp, không nhất thiết phải vuông góc.

Đỉnh

Bốn đỉnh của elíp là $\overrightarrow{p}(t_0+k\frac{\pi }{2}),k=0,1,2,3$, trong đó tham số Bản mẫu:Math là nghiệm của:

$\cot (2t_0)=\frac{\overrightarrow{f}{}_1^2-\overrightarrow{f}{}_2^2}{2\overrightarrow{f}{}_1\cdot \overrightarrow{f}{}_2}.$

(Nếu $\overrightarrow{f}{}_1\cdot \overrightarrow{f}{}_2=0$, thì Bản mẫu:Math.) Phương trình trên được suy ra như sau. Vectơ tiếp tuyến tại điểm $\overrightarrow{p}(t)$ is:

$\overrightarrow{p}{}^{\prime }(t)=-\overrightarrow{f}{}_1\sin t+\overrightarrow{f}{}_2\cos t.$

Tại đỉnh của với tham số Bản mẫu:Math, tiếp tuyến với elíp vuông góc với bán trục lớn/bé, do đó:

$0=\overrightarrow{p}{}^{\prime }(t)\cdot (\overrightarrow{p}(t)-\overrightarrow{f}{}_0)=(-\overrightarrow{f}{}_1\sin t+\overrightarrow{f}{}_2\cos t)\cdot (\overrightarrow{f}{}_1\cos t+\overrightarrow{f}{}_2\sin t).$

Khai triển và sử dụng các đẳng thức lượng giác Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math cho ta phương trình trên.

Phương trình ẩn

Giải phương trình tham số cho Bản mẫu:Math sử dụng quy tắc Cramer và để ý rằng Bản mẫu:Math, ta được phương trình ẩn

$\det (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{f}{}_0,\overrightarrow{f}{}_2{)}^2+\det (\overrightarrow{f}{}_1,\overrightarrow{x}-\overrightarrow{f}{}_0{)}^2-\det (\overrightarrow{f}{}_1,\overrightarrow{f}{}_2{)}^2=0$.

Elíp trong không gian

Định nghĩa của elíp tổng quát trong phần này cho ta biểu diễn tham số của một elíp bất kỳ, thậm chí trong không gian ba chiều, nếu ta cho $\overrightarrow{f}{}_0,\overrightarrow{f}{}_1,\overrightarrow{f}{}_2$ là các vectơ trong không gian.

Dạng cực

Dạng cực đối với tâm

Tọa độ cực với gốc đặt tại tâm elíp.

Trong hệ tọa độ cực, với gốc tọa độ là tâm của elíp và với tọa độ góc Bản mẫu:Mvar tính từ bán trục lớn, phương trình elíp làBản mẫu:Rp

$r(\theta )=\frac{ab}{\sqrt{(b\cos \theta {)}^2+(a\sin \theta {)}^2}}=\frac{b}{\sqrt{1-(e\cos \theta {)}^2}}$

Dạng cực đối với tiêu điểm

Tọa độ cực với gốc đặt tại tiêu điểm.

Nếu ta dùng tọa độ cực với gốc đặt tại một trong hai tiêu điểm, và tọa độ góc Bản mẫu:Mvar tính từ bán trục lớn, phương trình của elíp khi ấy là

$r(\theta )=\frac{a(1-e^2)}{1\pm e\cos \theta }$

trong đó dấu ở mẫu là âm nếu chiều của Bản mẫu:Math chỉ về tâm elíp, và dương nếu chiều đó chỉ ra xa tâm elíp.

Trong trường hợp tổng quát hơn, với elíp có một tiêu điểm ở gốc tọa độ và tiêu điểm còn lại ở tọa độ góc là Bản mẫu:Mvar, phương trình dạng cực là:

$r=\frac{a(1-e^2)}{1-e\cos (\theta -\varphi )}.$

Góc Bản mẫu:Mvar trong những công thức này được gọi là dị thường thực của điểm đang xét. Tử số Bản mẫu:Math là bán trục bên.

Tâm sai và đường chuẩn

Tính chất đường chuẩn của elíp

Hai đường thẳng song song và cách bán trục bé một đoạn bằng Bản mẫu:Math, được gọi là đường chuẩn của elíp.

Với điểm Bản mẫu:Mvar bất kỳ trên elíp, tỉ số khoảng cách đến một tiêu điểm và khoảng cách đến đường chuẩn tương ứng bằng tâm sai của elíp:

$\frac{\left|P{F}_1\right|}{\left|P{l}_1\right|}=\frac{\left|P{F}_2\right|}{\left|P{l}_2\right|}=e=\frac{c}{a}.$

Ta có thể chứng minh cho trường hợp cặp Bản mẫu:Math. Để ý rằng ${\left|P{F}_1\right|}^2=(x-c{)}^2+y^2,{\left|P{l}_1\right|}^2={(x-\frac{a^2}{c})}^2$ và $y^2=b^2-\frac{b^2}{a^2}{x}^2$ thỏa mãn phương trình

${\left|P{F}_1\right|}^2-\frac{c^2}{a^2}{\left|P{l}_1\right|}^2=0.$

Điều ngược lại cũng đúng và thường được dùng để định nghĩa elíp sử dụng đường chuẩn (giống với định nghĩa của một parabol:

Với tiêu điểm Bản mẫu:Mvar và đường chuẩn Bản mẫu:Mvar không đi qua Bản mẫu:Mvar bất kỳ, và số thực Bản mẫu:Mvar sao cho Bản mẫu:Math một elíp là quỹ tích các điểm sao cho tỉ số khoảng cách từ điểm đó đến tiêu điểm và đến đường chuẩn là Bản mẫu:Mvar Tức là $E=\{P:|PF|/|Pl|=e\}.$

Trong trường hợp Bản mẫu:Math, là tâm sai của đường tròn, ta có thể coi đường chuẩn của đường tròn nằm ở vô hạn. Nếu Bản mẫu:Math, quỹ tích tạo thành một hình parabol, và nếu Bản mẫu:Math, một hình hyperbol.)

Các đường conic với cùng đỉnh và bán trục bên

Chứng minh

Giả sử Bản mẫu:Math và đường chuẩn Bản mẫu:Mvar có phương trình Bản mẫu:Math. Khi ấy gốc tọa độ Bản mẫu:Math nằm trên đường cong tạo thành. Giả sử điểm Bản mẫu:Math thỏa mãn Bản mẫu:Math. Biến đổi, ta được phương trình:

$x^2(e^2-1)+2x(1+e)f-y^2=0.$

Đây là phương trình của một elíp nếu Bản mẫu:Math, một parabol nếu Bản mẫu:Math, hoặc một hyperbol nếu Bản mẫu:Math. Cả ba conic không suy biến này đều có một đỉnh là gốc tọa độ.

Trong trường hợp Bản mẫu:Math, lấy hai số Bản mẫu:Math sao cho Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math Phương trình ở trên trở thành

$\frac{(x-a{)}^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

Đây chính là phương trình của elíp với tâm Bản mẫu:Math, trục chính là trục hoành và bán trục lớn và bé lần lượt là Bản mẫu:Math

Elíp tổng quát

Nếu tiêu điểm Bản mẫu:Math và đường chuẩn có phương trình Bản mẫu:Math, ta có phương trình của elíp là:

${(x-f_1)}^2+{(y-f_2)}^2=e^2\frac{{(ax+by+c)}^2}{a^2+b^2}.$

Tính chất phản chiếu

Tiếp tuyến với elíp chia đôi góc bù với góc giữa hai đường thẳng nối tiêu điểm

Những tia từ một tiêu điểm phản chiếu khỏi elíp và đi qua tiêu điểm còn lại

Một elíp có tính chất sau:

Với điểm Bản mẫu:Mvar thuộc elíp, pháp tuyến với elíp tại điểm Bản mẫu:Mvar chia đôi góc $\widehat{F_{1}P{F}_2}.$ (Pháp tuyến trong trường hợp này là đường vuông góc với tiếp tuyến tại điểm đó)

Chứng minh

Ta sẽ chứng minh điều tương đương là tiếp tuyến là đường phân giác ngoài của tam giác Bản mẫu:Math

Lấy điểm Bản mẫu:Mvar trên tia Bản mẫu:Math sao cho Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Mvar là bán trục lớn của elíp. Gọi đường thẳng Bản mẫu:Mvar là phân giác ngoài đỉnh Bản mẫu:Mvar của tam giác Bản mẫu:Math Để chứng minh Bản mẫu:Mvar là tiếp tuyến tại điểm Bản mẫu:Mvar, lấy điểm Bản mẫu:Mvar khác Bản mẫu:Mvar nằm trên Bản mẫu:Mvar, ta sẽ chứng minh Bản mẫu:Mvar không thuộc elíp. Khi ấy đường thẳng Bản mẫu:Mvar chỉ cắt elíp tại một điểm là Bản mẫu:Mvar, nên nó là tiếp tuyến với elíp tại Bản mẫu:Mvar

Từ hình vẽ bên, áp dụng bất đẳng thức tam giác ta thấy $2a=\left|L{F}_2\right|<\left|Q{F}_2\right|+\left|QL\right|=\left|Q{F}_2\right|+\left|Q{F}_1\right|$, do đó: $\left|Q{F}_2\right|+\left|Q{F}_1\right|>2a.$ Nhưng nếu Bản mẫu:Mvar nằm trên elíp thì tổng đó phải bằng Bản mẫu:Math Như vậy Bản mẫu:Mvar không thuộc elíp, ta có điều phải chứng minh.

Ứng dụng

Các tia từ một tiêu điểm bị phản chiếu bởi elíp đến tiêu điểm thứ hai, dẫn đến ứng dụng quang và âm thanh tương tự với tính chất phản chiếu của một parabol (xem phòng thì thầm).

Đường kính liên hợp

Hai đường kính vuông góc của đường tròn và hình vuông ngoại tiếp nó, qua phép biến đổi afin, trở thành hai đường kính liên hợp của elíp và hình bình hành ngoại tiếp nó

Một đường tròn có tính chất sau:

Trung điểm của các dây cung song song thì nằm trên một đường kính.

Đường kính đó vuông góc với các dây cung song song. Qua một phép biến đổi afin, tính song song và trung điểm của các đoạn thẳng được giữ nguyên, nên tính chất này vẫn đúng với hình elíp. Tuy nhiên khi ấy đường kính và các dây cung song song không vuông góc với nhau. Đường kính liên hợp của elíp tổng quát hóa đường kính vuông góc trong đường tròn.

Định nghĩa

Hai đường kính Bản mẫu:Math của một elíp gọi là liên hợp nếu trung điểm các dây cung song song với Bản mẫu:Math nằm trên Bản mẫu:Math

Từ hình vẽ ta thấy:

Hai đường kính Bản mẫu:Math của một elíp là liên hợp với nhau khi và chỉ khi tiếp tuyến tại Bản mẫu:Math (hoặc Bản mẫu:Math song song với Bản mẫu:Math

Trong phương trình tham số cho elíp tổng quát Bản mẫu:EquationNote ở trên:

$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}(t)=\overrightarrow{f}{}_0+\overrightarrow{f}{}_1\cos t+\overrightarrow{f}{}_2\sin t,$

bất kỳ hai điểm $\overrightarrow{p}(t),\overrightarrow{p}(t+\pi )$ tạo thành một đường kính, và cặp $\overrightarrow{p}(t+\frac{\pi }{2}),\overrightarrow{p}(t-\frac{\pi }{2})$ tạo thành đường kính liên hợp với nó.

Định lý Apollonius về đường kính liên hợp

Định lý Apollonius về đường kính liên hợp

Cho elíp với hai bán trục Bản mẫu:Math. Giả sử Bản mẫu:Math là hai bán kính liên hợp của elíp, tức một nửa của dường kính liên hợp. Khi ấy ta có:

1. $c_1^2+c_2^2=a^2+b^2$,
2. hình bình hành tạo bởi các tiếp tuyến với các đường kính liên hợp đã cho có diện tích Bản mẫu:Math

Đẳng thức đầu tiên được gọi là định lý thứ nhất của Apollonius về đường kính liên hợp, còn công thức diện tích là định lý Apollonius thứ hai.

Chứng minh

Giả sử elíp ở dạng chuẩn (tâm ở gốc tọa độ, hai bán trục là hai trục hoành và tung), với phương trình tham số:

$\overrightarrow{p}(t)=(a\cos t,b\sin t)$.

Hai điểm ${\overrightarrow{c}}_1=\overrightarrow{p}(t),{\overrightarrow{c}}_2=\overrightarrow{p}(t+\frac{\pi }{2})$ là hai đường kính liên hợp (xem phần trên). Từ công thức lượng giác ta có ${\overrightarrow{c}}_2=(-a\sin t,b\cos t)$. Biến đổi đại số ta dễ chứng minh:

${\left|{\overrightarrow{c}}_1\right|}^2+{\left|{\overrightarrow{c}}_2\right|}^2=\cdots =a^2+b^2.$

Diện tích của tam giác tạo bởi ${\overrightarrow{c}}_1,{\overrightarrow{c}}_2$ và dây cung nối hai điểm là:

$A_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\det ({\overrightarrow{c}}_1,{\overrightarrow{c}}_2)=\cdots =\frac{1}{2}ab$

Từ hình vẽ ta thấy diện tích hình bình hành ngoại tiếp elíp bằng 8 lần diện tích tam giác đó, suy ra diện tích hình bình hành là Bản mẫu:Math

Tính chất đo lường

Tất cả tính chất sau áp dụng cho elíp với phương trình $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

Diện tích

Diện tích $A_{\text{elip}}$ của elíp là:

$A_{\text{elip}}=\pi ab$

Trong đó Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar là độ dài các bán trục lớn và bé của elíp. Công thức này khá tự nhiên: bắt đầu từ đường tròn có bán kính Bản mẫu:Mvar và diện tích Bản mẫu:Math và kéo dài nó với tỉ số $a/b$ để tạo thành elíp. Việc kéo dài này làm tăng diện tích lên tỉ số bằng nhau: $\pi b^2(a/b)=\pi ab.$ Ta cũng có thể chứng minh chặt chẽ tính chất này bằng tích phân như sau.

Phương trình Bản mẫu:EquationNote có thể được viết lại thành $y(x)=b\sqrt{1-x^2/a^2},$ với $x\in [-a,a],$ đường cong này lànửa trên của elíp. Vậy diện tích elíp bằng hai lần tích phân của Bản mẫu:Math trên đoạn Bản mẫu:Math:

$\begin{array}{cc}{A}_{\text{elip}}& =2\underset{-a}{\overset{a}{\int }}b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}dx\\ & =\frac{b}{a}\underset{-a}{\overset{a}{\int }}2\sqrt{a^2-x^2}dx.\end{array}$

Tích phân thứ hai là diện tích của đường tròn với bán kính Bản mẫu:Math bằng Bản mẫu:Math Do đó

$A_{\text{ellipse}}=\frac{b}{a}\pi a^2=\pi ab.$

Một elíp với phương trình $A{x}^2+Bxy+C{y}^2=1$ có diện tích $2\pi /\sqrt{4AC-B^2}.$

Chu vi

Các elíp với cùng chu vi

Chu vi Bản mẫu:Mvar của một elíp là:

$C=4a\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{1-e^2{\sin }^2\theta }d\theta =4aE(e)$

trong đó Bản mẫu:Mvar là độ dài của bán trục lớn, $e=\sqrt{1-b^2/a^2}$ là tâm sai của elíp, và hàm số Bản mẫu:Mvar là tích phân elliptic đầy đủ loại II,

$E(e)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{1-e^2{\sin }^2\theta }d\theta .$

Chuỗi vô hạn của công thức này là:

$\begin{array}{cc}C& =2\pi a\left[1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2{e}^2-{\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)}^2\frac{e^4}{3}-{\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)}^2\frac{e^6}{5}-\cdots \right]\\ & =2\pi a[1-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)}^2\frac{e^{2n}}{2n-1}],\end{array}$

trong đó Bản mẫu:Math là giai thừa đôi. Chuỗi này hội tụ, nhưng bằng cách đặt Bản mẫu:Math James Ivory và Bessel cho một công thức khác hội tụ nhanh hơn nhiều:

$\begin{array}{cc}C& =\pi (a+b)[1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{(2n-1)!!}{2^{n}n!}\right)}^2\frac{h^n}{(2n-1{)}^2}].\\ & =\pi (a+b)[1+\frac{h}{4}+\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{(2n-3)!!}{2^{n}n!}\right)}^2{h}^n].\end{array}$

Srinivasa Ramanujan đưa ra hai xấp xỉ cho chu vi trong phần §16 của "Modular Equations and Approximations to Bản mẫu:Math":

$C\approx \pi (3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}),$

và

$C\approx \pi (a+b)(1+\frac{3h}{10+\sqrt{4-3h}}).$

Sai số của những xấp xỉ này lần lượt cỡ bậc của Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math

Một số bất đẳng thức về chu vi của elíp chuẩn Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Math là

$\begin{array}{cc}2\pi b& \le C\le 2\pi a,\\ \pi (a+b)& \le C\le 4(a+b),\\ 4\sqrt{a^2+b^2}& \le C\le \sqrt{2}\pi \sqrt{a^2+b^2}.\end{array}$

Ở đây chặn trên Bản mẫu:Math là chu vi của đường tròn ngoại tiếp đi qua hai đỉnh của trục lớn elíp, và chặn dưới $4\sqrt{a^2+b^2}$ là chu vi của một hình thoi nối bốn đỉnh của elíp.

Độ cong

Độ cong của elíp là

$\kappa =\frac{1}{a^2{b}^2}{(\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4})}^{-3/2},$

Bán kính cong tại điểm Bản mẫu:Math:

$\rho =a^2{b}^2{(\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4})}^{3/2}=\frac{1}{a^4{b}^4}\sqrt{{(a^4{y}^2+b^4{x}^2)}^3}.$

Bán kính cong tại hai đỉnh Bản mẫu:Math và tâm cong là:

${\rho }_0=\frac{b^2}{a}=p,(\pm \frac{c^2}{a}|0).$

Bán kính cong tại hai đỉnh Bản mẫu:Math và tâm cong là:

${\rho }_1=\frac{a^2}{b},\left(0\right|\pm \frac{c^2}{b}).$

Xem thêm

• Hình bầu dục
• Hình bầu dục Descartes, một dạng tổng quát elíp
• Các định luật Kepler về chuyển động thiên thể
• Conic ngoại tiếp và nội tiếp
• Hệ tọa độ elíp, một hệ tọa độ vuông góc dựa trên hình elíp và hyperbol
• Phương trình vi phân riêng phần elíp
• Phỏng cầu, hình ellipsoid nhận được bằng cách xoay một elíp quanh trục lớn hoặc bé
• Siêu elíp, một dạng tổng quát khác của elíp
• Dị thường đúng, dị thường tâm sai, và dị thường trung bình

Tham khảo

• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Citation

Liên kết ngoài

• Bản mẫu:Britannica
• Bản mẫu:PlanetMath
• Bản mẫu:MathWorld
• Bản mẫu:MathWorld
• Apollonius' Derivation of the Ellipse at Convergence
• The Shape and History of The Ellipse in Washington, D.C. by Clark Kimberling
• Ellipse circumference calculator
• Collection of animated ellipse demonstrations
• Bản mẫu:Springer