Đường tròn của Apollonius

Trong hình học phẳng Đường tròn Apollonius là một số đường tròn được đề cập bởi nhà toán học Apollonius của Perga (255 TCN-170 TCN) vào khoảng năm 200 TCN. Tuy nhiên trong số các đường tròn này có thể xác định một cách tương tự trong một số mặt khác.

Quỹ tích đường tròn Apollonius

Cho A và B là hai điểm trong mặt phẳng và $r = \frac{d_{1}}{d_{2}}$ là một số dương khác 1 thì quỹ tích của các điểm P sao cho tỉ số các độ dài $\frac{A P}{B P} = \frac{d_{1}}{d_{2}} = r$ là một đường tròn. Đường tròn xây dựng theo cách này còn được gọi là đường tròn Apollonius.

Chứng minh sử dụng các vector trong không gian Euclide

Cho dBản mẫu:Sub, dBản mẫu:Sub là số thực không bằng nhau. Cho C là điểm phân chia AB của dBản mẫu:Sub: dBản mẫu:Sub và D là điểm phân chia externaly của AB thành dBản mẫu:Sub: dBản mẫu:Sub.

\vec{P C} = \frac{d_{2} \vec{P A} + d_{1} \vec{P B}}{d_{2} + d_{1}}, \vec{P D} = \frac{d_{2} \vec{P A} - d_{1} \vec{P B}}{d_{2} - d_{1}} .

Sau đó,

P A : P B = d_{1} : d_{2} .

\Leftrightarrow d_{2} | \vec{P A} | = d_{1} | \vec{P B} | .

\Leftrightarrow d_{2}^{2} | \vec{P A} |^{2} = d_{1}^{2} | \vec{P B} |^{2} .

\Leftrightarrow (d_{2} \vec{P A} + d_{1} \vec{P B}) \cdot (d_{2} \vec{P A} - d_{1} \vec{P B}) = 0 .

\Leftrightarrow \frac{d_{2} \vec{P A} + d_{1} \vec{P B}}{d_{2} + d_{1}} \cdot \frac{d_{2} \vec{P A} - d_{1} \vec{P B}}{d_{2} - d_{1}} = 0 .

\Leftrightarrow \vec{P C} \cdot \vec{P D} = 0 .

\Leftrightarrow \vec{P C} = \vec{0} \lor \vec{P D} = \vec{0} \lor \vec{P C} ⊥ \vec{P D} .

\Leftrightarrow P = C \lor P = D \lor ∠ C P D = 9 0^{\circ} .

Vì vậy, điểm P là trên vòng tròn có đường kính CD.

Vấn đề Apollonius

Dựng một đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn cho trước. Có đến tám đường tròn có thể dựng được thỏa mãn yêu cầu này.^[1]

Đường tròn Apollonius trong một tam giác

Đường tròn đi qua đỉnh một tam giác và đi qua giao điểm của các đường phân giác trong và phân giác ngoài với cạnh đối diện của một tam giác được gọi là đường tròn Apollonius trong một tam giác. Như vậy trong một tam giác có ba đường tròn Apollonius. Ba đường tròn Apollonius của một tam giác đồng quy tại hai điểm isodynamic của tam giác.^[2]^[3]

Xem thêm

Chú thích

Bản mẫu:Tham khảo

Tham khảo

Bản mẫu:Chú thích tạp chí
Bản mẫu:Chú thích sách
Bản mẫu:Chú thích sách
Bản mẫu:Chú thích tạp chí
Bản mẫu:Chú thích sách Trans., introd., and notes by Paul Ver Eecke. Bản mẫu:Fr icon
Bản mẫu:Chú thích sách
Bản mẫu:Chú thích sách

Liên kết ngoài

Bản mẫu:Sơ khai toán học

↑ Dörrie H (1965). "The Tangency Problem of Apollonius". 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions. New York: Dover. pp. 154–160 (§32).
↑ Bottema, Oene (2008), Topics in elementary geometry (2nd ed.), Springer, p. 108, ISBN 9780387781303.
↑ Johnson, Roger A. (1917), "Directed angles and inversion, with a proof of Schoute's theorem", American Mathematical Monthly 24 (7): 313–317, JSTOR 2973552.

[1] Dörrie H (1965). "The Tangency Problem of Apollonius". 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions. New York: Dover. pp. 154–160 (§32).

[2] Bottema, Oene (2008), Topics in elementary geometry (2nd ed.), Springer, p. 108, ISBN 9780387781303.

[3] Johnson, Roger A. (1917), "Directed angles and inversion, with a proof of Schoute's theorem", American Mathematical Monthly 24 (7): 313–317, JSTOR 2973552.

[1]

[2]

[3]

Đường tròn của Apollonius

Mục lục

Quỹ tích đường tròn Apollonius

Chứng minh sử dụng các vector trong không gian Euclide

Vấn đề Apollonius

Đường tròn Apollonius trong một tam giác

Xem thêm

Chú thích

Tham khảo

Liên kết ngoài

Bảng điều hướng

Đường tròn của Apollonius

Quỹ tích đường tròn Apollonius

Chứng minh sử dụng các vector trong không gian Euclide

Vấn đề Apollonius

Đường tròn Apollonius trong một tam giác

Xem thêm

Chú thích

Tham khảo

Liên kết ngoài

Bảng điều hướng

Tìm kiếm