Định lý Carathéodory (bao lồi)

Xem thêm các định lý Carathéodory khác

Trong hình học lồi, định lý Carathéodory khẳng định nếu điểm x trong R^d nằm trong bao lồi của tập hợp P, thì tồn tại một tập hợp con P′ của P gồm tối đa d+1 điểm sao cho x nằm trong bao lồi của P′. Một cách phát biểu tương đương là x nằm trong một r-đơn hình với các đỉnh thuộc P, trong đó $r\le d$. Kết quả này được đặt tên theo Constantin Carathéodory, người đã chứng minh định lý này năm 1911 cho trường hợp P compact. Năm 1913, Ernst Steinitz mở rộng định lý Carathéodory cho mọi tập P trong R^d.

Sau đây là một ví dụ. Ta xét tập hợp P = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} trong R². Bao lồi của tập này là một hình vuông. Xét điểm x = (1/4, 1/4) nằm trong bao lồi của P. Ta có thể chọn tập {(0,0),(0,1),(1,0)} = P ′, với bao lồi là một hình tam giác chứa x và do đó định lý là đúng trong trường hợp này do |P′| = 3.

Chứng minh

Giả sử x là một điểm trong bao lồi của P. Khi đó, x là tổ hợp lồi của một tập hợp hữu hạn các điểm trong P:

$𝐱=\sum _{j=1}^k{\lambda }_j{𝐱}_j$

trong đó mọi x_j đều thuộc P, λ_j là số dương, và $\sum _{j=1}^k{\lambda }_j=1$.

Giả sử k > d + 1 (nếu không ta có ngay điều phải chứng minh). Khi đó, các điểm x₂ − x₁,..., x_k − x₁ là phụ thuộc tuyến tính, nên tồn tại μ₂,..., μ_k sao cho không phải tất cả chúng đều bằng 0 và

$\sum _{j=2}^k{\mu }_j({𝐱}_j-{𝐱}_1)=\mathrm{𝟎}.$

Nếu định nghĩa μ₁ như sau

${\mu }_1:=-\sum _{j=2}^k{\mu }_j$

thì

$\sum _{j=1}^k{\mu }_j{𝐱}_j=\mathrm{𝟎}$

$\sum _{j=1}^k{\mu }_j=0$

và không phải tất cả μ_j đều bằng 0. Do đó tồn tại ít nhất một μ_j>0. Ta có,

$𝐱=\sum _{j=1}^k{\lambda }_j{𝐱}_j-\alpha \sum _{j=1}^k{\mu }_j{𝐱}_j=\sum _{j=1}^k({\lambda }_j-\alpha {\mu }_j){𝐱}_j$

cho mọi số thực α. Vì vậy đẳng thức trên là đúng khi chọn α như sau

$\alpha :=\underset{1\le j\le k}{\min }\{\frac{{\lambda }_j}{{\mu }_j}:{\mu }_j>0\}=\frac{{\lambda }_i}{{\mu }_i}.$

Ghi chú là α>0, và với mọi j từ 1 tới k,

${\lambda }_j-\alpha {\mu }_j\ge 0.$

Ta nhận thấy λ_i − αμ_i = 0 theo cách chọn α. Vì vậy,

$𝐱=\sum _{j=1}^k({\lambda }_j-\alpha {\mu }_j){𝐱}_j$

trong đó mọi ${\lambda }_j-\alpha {\mu }_j$ là không âm, tổng của chúng bằng 1, và thêm vào đó, ${\lambda }_i-\alpha {\mu }_i=0$. Nói cách khác, x là tổ hợp lồi của k-1 điểm trong P. Có thể lặp lại quá trình trên cho tới khi x là tổ hợp lồi của d + 1 điểm trong P.

Một cách chứng minh khác là sử dụng định lý Helly.

Xem thêm

• Bổ đề Shapley–Folkman
• Định lý Helly
• Định lý Krein–Milman
• Lý thuyết Choquet

Tham khảo

• Bản mẫu:Chú thích.
• Bản mẫu:Chú thích.

Liên kết ngoài

• Một phát biểu ngắn gọn của định lý Bản mẫu:Webarchive thông qua bao lồi (tại PlanetMath)