Định lý Euclid–Euler

Ví dụ về Định lý Euclid-Euler

Định lý Euclid–Euler là một định lý trong lý thuyết số liên hệ số hoàn thiện với số nguyên tố Mersenne. Định lý này phát biểu rằng một số chẵn là số hoàn thiện khi và chỉ khi nó có dạng Bản mẫu:Math, trong đó Bản mẫu:Math là số nguyên tố. Nó được đặt tên theo hai nhà toán học Euclid và Leonhard Euler, là hai người đã lần lượt chứng minh được phần "khi" và "chỉ khi" của định lý.

Có giả thuyết cho rằng có vô số số nguyên tố Mersenne. Mặc dù vẫn chưa rõ giả thuyết này có chính xác hay không, nhưng theo định lý Euclid–Euler, nó tương đương với giả thuyết rằng có vô số số hoàn thiện chẵn. Tuy nhiên, cũng chưa rõ có tồn tại một số hoàn thiện lẻ hay không.

Phát biểu và ví dụ

Số hoàn thiện là một số tự nhiên có giá trị bằng tổng các ước thật sự của nó (ước thực sự của một số được định nghĩa là những số nhỏ hơn nó và chia hết nó, với số dư bằng không). Ví dụ, các ước thật sự của 6 là 1, 2 và 3, và ba số trên có tổng bằng 6, nên 6 là số hoàn thiện.

Số nguyên tố Mersenne là số nguyên tố có dạng Bản mẫu:Math, nhỏ hơn 1 đơn vị so với lũy thừa của 2. Để một số dạng này là số nguyên tố thì Bản mẫu:Mvar phải là số nguyên tố, nhưng không phải mọi số nguyên tố áp vào công thức trên đều cho giá trị là số nguyên tố Mersenne. Chẳng hạn, Bản mẫu:Nowrap là số nguyên tố Mersenne, nhưng Bản mẫu:Nowrap thì không phải.

Định lý Euclid–Euler phát biểu rằng một số tự nhiên chẵn là số hoàn thiện khi và chỉ khi nó có dạng Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Math là số nguyên tố Mersenne. Số hoàn thiện 6 có được trong trường hợp Bản mẫu:Math do Bản mẫu:Nowrap, và số nguyên tố Mersenne 7 thay vào dạng nói trên cho giá trị là số hoàn thiện 28.

Lịch sử

Euclid chứng minh được Bản mẫu:Math là số hoàn thiện chẵn khi Bản mẫu:Math là số nguyên tố. Đây là kết quả cuối cùng về lý thuyết số trong bộ Cơ sở của Euclid; các cuốn tiếp theo trong bộ sách này tập trung vào số vô tỉ, hình học không gian và tỷ lệ vàng. Euclid thể hiện kết quả này bằng cách phát biểu rằng nếu một cấp số nhân hữu hạn với số hạng đầu là 1 và công bội là 2 có tổng là số nguyên tố Bản mẫu:Mvar, thì tổng này nhân cho số hạng cuối cùng Bản mẫu:Mvar của dãy số này là một số hoàn thiện. Biểu diễn cụ thể đối với dãy số này thì tổng Bản mẫu:Mvar của các số hạng là số nguyên tố Mersenne Bản mẫu:Math và số hạng cuối cùng của dãy Bản mẫu:Mvar là lũy thừa của 2, Bản mẫu:Math. Euclid chứng minh Bản mẫu:Math là số hoàn thiện khi nhận thấy một cấp số nhân thứ hai, với số hạng đầu là Bản mẫu:Mvar, công bội là 2 và có cùng số các số hạng, có tính tỷ lệ thuận với cấp số nhân ban đầu; do đó, vì tổng của dãy số ban đầu là Bản mẫu:Math nên tổng của dãy số thứ hai là Bản mẫu:Math, và tổng của cả hai dãy số cộng lại là Bản mẫu:Math, bằng hai lần số hoàn thiện giả thiết lúc đầu. Tuy nhiên, hai dãy số này lại không giao nhau và (do tính nguyên tố của Bản mẫu:Mvar) vét kiệt tất cả các ước của Bản mẫu:Math, nên Bản mẫu:Math là một số có tổng các ước bằng Bản mẫu:Math, dẫn đến nó là số hoàn thiện.

Hơn một thiên niên kỷ sau Euclid, Alhazen khoảng năm 1000 sau Công nguyên đưa ra giả thuyết rằng mọi số hoàn thiện chẵn đều có dạng Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Math là số nguyên tố, nhưng ông không thể chứng minh được giả thuyết đó. Phải đến thế kỷ 18, hơn 2000 năm sau Euclid, Leonhard Euler mới chứng minh được rằng công thức Bản mẫu:Math luôn cho giá trị là số hoàn thiện chẵn. Như vậy, tồn tại mối liên hệ một–một giữa số hoàn thiện chẵn và số nguyên tố Mersenne; mỗi số nguyên tố Mersenne cho một số hoàn thiện chẵn tương ứng, và ngược lại. Từ sau chứng minh của Euler, nhiều nhà toán học đã xuất bản các cách chứng minh khác cho định lý Euclid–Euler như Victor-Amédée Lebesgue, Robert Daniel Carmichael, Leonard Eugene Dickson, John Knopfmacher và Wayne L. McDaniel. Đặc biệt, chứng minh của Dickson đã được nhắc đến phổ biến trong sách giáo khoa.

Định lý này nằm trong danh sách web "top 100 định lý toán học", có từ năm 1999, mà về sau được Freek Wiedijk sử dụng làm kiểm chuẩn để kiểm tra độ mạnh của các trình hỗ trợ chứng minh định lý khác nhau. Tính đến năm 2021, phần chứng minh của định lý Euclid–Euler đã được định hình tại 5 trên 10 trình hỗ trợ mà Wiedijk theo dõi.

Chứng minh

Chứng minh của Euler là một chứng minh ngắn và dựa trên cơ sở rằng hàm tổng các ước Bản mẫu:Mvar là hàm nhân tính, nghĩa là nếu Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar là hai số nguyên tố cùng nhau thì Bản mẫu:Math. Để công thức này chính xác, tổng các ước của một số phải tính cả số hạng là chính số đó chứ không chỉ tính các ước thật sự của nó. Một số được coi là hoàn thiện khi và chỉ khi tổng các ước của nó bằng hai lần số đó.

Điều kiện đủ

Phần đầu tiên của định lý (phần đã được Euclid chứng minh) được suy ra từ tính nhân tính: mỗi số nguyên tố Mersenne tương ứng với một số hoàn thiện chẵn được tạo thành. Khi Bản mẫu:Math là số nguyên tố thì

$\sigma (2^{p-1}(2^p-1))=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^p-1).$

Các ước của Bản mẫu:Math là Bản mẫu:Math, tạo thành một cấp số nhân với tổng là Bản mẫu:Math. Vì Bản mẫu:Math là số nguyên tố nên nó chỉ có hai ước là Bản mẫu:Math và chính nó, và do đó, tổng các ước của nó là Bản mẫu:Math.

Kết hợp lại, ta có:

$\begin{array}{cc}\sigma (2^{p-1}(2^p-1))& =\sigma (2^{p-1})\sigma (2^p-1)\\ & =(2^p-1)(2^p)\\ & =2(2^{p-1})(2^p-1).\end{array}$

Do đó, Bản mẫu:Math là số hoàn thiện.

Điều kiện cần

Ngược lại, giả sử tồn tại một số hoàn thiện chẵn được phân tích một phần dưới dạng Bản mẫu:Math, với Bản mẫu:Mvar là số lẻ. Để Bản mẫu:Math là số hoàn thiện thì tổng các ước của nó phải bằng hai lần số đó:Bản mẫu:NumBlkThừa số lẻ Bản mẫu:Math ở vế phải của (∗) có giá trị nhỏ nhất là 3, và nó phải là ước của Bản mẫu:Mvar, thừa số lẻ duy nhất ở vế trái, nên Bản mẫu:Math là một ước thật sự của Bản mẫu:Mvar. Chia cả hai vế của (∗) cho thừa số chung Bản mẫu:Math và xem xét các ước số Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar đã biết của Bản mẫu:Mvar, ta được

Để đẳng thức trên đúng thì không thể tồn tại một ước số nào khác. Do đó, Bản mẫu:Mvar phải bằng Bản mẫu:Math, và Bản mẫu:Mvar phải là một số nguyên tố dạng Bản mẫu:Math.