Định lý Stolz–Cesàro

Trong toán học, định lý Stolz–Cesàro là một tiêu chuẩn để chứng minh tính hội tụ của một dãy số. Định lý này được đặt tên theo nhà toán học Otto Stolz và Ernesto Cesàro, người đầu tiên phát biểu và chứng minh định lý này.

Định lý Stolz–Cesàro có thể được coi là mở rộng của trung bình Cesàro, hoặc là phiên bản dãy số của quy tắc l'Hôpital.

Phát biểu

Cho Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math là hai dãy số thực. Định lý được phát biểu trong hai trường hợp

Trường hợp Bản mẫu:Math

Giả sử Bản mẫu:Math là dãy đơn điệu nghiêm ngặt và phân kỳ (tức nó tăng nghiêm ngặt và tiến đến Bản mẫu:Math, hoặc giảm nghiêm ngặt và tiến đến Bản mẫu:Math). Nếu giới hạn sau tồn tại:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=L,$

thì:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=L.$

Trường hợp Bản mẫu:Math

Giả sử Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math đều tiến tới Bản mẫu:Math, đồng thời Bản mẫu:Math là dãy đơn điệu nghiêm ngặt. Nếu

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l$

thì

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=l$

Lịch sử

Trường hợp Bản mẫu:Math được phát biểu và chứng minh ở trang 173—175 trong quyển sách năm 1885 của Stolz và ở trang 54 trong bài viết năm 1888 của Cesàro.

Định lý cũng xuất hiện trong quyển sách giải tích của Pólya và Szegő (1925), và là bài toán 70 trong sách.

Dạng tổng quát

Định lý Stolz–Cesàro trong trường hợp tổng quát được phát biểu sử dụng khái niệm giới hạn trên và giới hạn dưới của dãy số.

Nếu Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math là các dãy số thực sao cho Bản mẫu:Math đơn điệu nghiêm ngặt và không bị chặn thì:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{a_n}{b_n}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{a_n}{b_n}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}.$

Để ý rằng nếu

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=L,$

thì giới hạn trên và dưới của $\frac{a_n}{b_n}$ cũng bằng nhau, tức giới hạn

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}$

cũng tồn tại và bằng Bản mẫu:Mvar.

Tham khảo

• Bản mẫu:Citation.
• Bản mẫu:Citation.
• Bản mẫu:Citation.
• Bản mẫu:Citation.
• A. D. R. Choudary, Constantin Niculescu: Real Analysis on Intervals. Springer, 2014, Bản mẫu:Isbn, pp. 59-62
• J. Marshall Ash, Allan Berele, Stefan Catoiu: Plausible and Genuine Extensions of L’Hospital's Rule. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 1 (February 2012), pp. 52–60 (JSTOR)

Liên kết ngoài

• Quy tắc l'Hôpital và định lý Stolz-Cesàro Bản mẫu:Webarchive tại imomath.com
• Bản mẫu:PlanetMath