Đồng dư thức của Kummer

Bản mẫu:Short description Trong toán học, đồng dư thức của Kummer là một số đồng dư thức bao gồm cả số Bernoulli, được phát hiện bởi Bản mẫu:Harvs.

Bản mẫu:Harvtxt sử dụng đồng dư thức của Kummer để định nghĩa hàm zeta p-adic.

Phát biểu

Dạng đơn giản nhất của đồng dư thức Kummer phát biểu rằng

$\frac{B_h}{h}\equiv \frac{B_k}{k}(\mathrm{mod}p)\text{ khi }h\equiv k(\mathrm{mod}p-1)$

trong đó p là số nguyên tố, h và k là hai số nguyên dương chẵn không chia hết cho p−1 và các số B_h là số Bernoulli.

Tổng quát hơn, nếu h và k là số nguyên dương chẵn không chia hết cho p − 1, thì

$(1-p^{h-1})\frac{B_h}{h}\equiv (1-p^{k-1})\frac{B_k}{k}(\mathrm{mod}{p}^{a+1})$

mỗi khi

$h\equiv k(\mathrm{mod}\phi (p^{a+1}))$

trong đó φ(p^a+1) là hàm phi Euler, được tính tại p^a+1 và a là số nguyên không âm. Tại a = 0, biểu thức lấy dạng đơn giản hơn ở trên. Hai vế của đồng dư thức là các giá trị của hàm zeta p-adic, và đồng dư thức Kummer chỉ ra rằng hàm zeta p-adic cho số nguyên âm có tính liên tục, do đó có thể mở rộng theo tính liên tục cho mọi số nguyên p-adic.

Xem thêm

• Định lý Von Staudt–Clausen, một loại đồng dư thức khác có bao gồm số Bernoulli

Tham khảo

• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation