1 + 1 + 1 + 1 + ⋯

Tính chất tiệm cận của việc làm trơn. Tung độ gốc của đường thẳng là −Bản mẫu:Sfrac.

Trong toán học, Bản mẫu:Math, còn được viết là

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^0$ hay $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}1$

là một chuỗi phân kì, nghĩa là dãy các tổng riêng không hội tụ về một giới hạn trong tập số thực. Dãy Bản mẫu:Math có thể được coi là một chuỗi hình học với công bội bằng Bản mẫu:Math. Không như các chuỗi hình học với công bội là số hữu tỉ, (ngoại trừ −1), nó không hội tụ trong tập số thực lẫn trong tập [[số p-adic|số Bản mẫu:Mvar-adic]] với số nguyên tố Bản mẫu:Mvar. Trong trường hợp của trục số thực mở rộng

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}1=+\mathrm{\infty }.$

Trong khi tổng Bản mẫu:Math xuất hiện trong vật lý, nó đôi khi được coi là sự chính quy hóa hàm zeta, bởi giá trị của hàm zeta Riemann tại Bản mẫu:Math

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\frac{1}{1-2^{1-s}}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n^s},$

Tuy nhiên hai biểu thức trên không có nghĩa tại không, ta có thể sử dụng thác triển giải tích của hàm zeta Riemann

$\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(1-s)\zeta (1-s)$

Sử dụng công thức này cùng với Bản mẫu:Math ta được

$\begin{array}{cc}\zeta (0)& =\frac{1}{\pi }\underset{s\to 0}{\lim }\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\zeta (1-s)\\ & =\frac{1}{\pi }\underset{s\to 0}{\lim }(\frac{\pi s}{2}-\frac{{\pi }^3{s}^3}{48}+...)(-\frac{1}{s}+...)\\ & =-\frac{1}{2}\end{array}$

trong đó khai triển chuỗi lũy thừa của Bản mẫu:Math gần Bản mẫu:Math có nghĩa vì Bản mẫu:Math có một cực đơn giản với thặng dư một ở đó. Theo nghĩa này Bản mẫu:Math.

Emilio Elizalde từng trình bày một giai thoại về thái độ với chuỗi này: Bản mẫu:Blockquote

Xem thêm

• Chuỗi Grandi
• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
• 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·
• 1 + 2 + 4 + 8 + · · ·
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
• 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · ·
• Chuỗi điều hòa

Liên kết ngoài

• Dãy số dương đơn giản nhất: dãy toàn số 1