Bất đẳng thức Harnack

Bất đẳng thức Harnack là một bất đẳng thức bắt nguồn từ giải tích.

Cho $D=D(z_0,R)$ là một quả cầu mở và f là một hàm điều hòa trên D sao cho f(z) không âm với mọi $z\in D$. Khi đó bất đẳng thức sau đúng với mọi $z\in D$:

$0\le f(z)\le {\left(\frac{R}{R-|z-z_0|}\right)}^{2}f(z_0).$

Đối với miền tổng quát ${𝐑}^n$ bất đẳng thức được phát biểu như sau: Nếu $u(x)$ là hàm khả vi hai lần, điều hòa và không âm, $\omega$ là một miền bị chặn với $\overline{\omega }\subset \mathrm{\Omega }$, thì sẽ có một hằng số $C$ không phụ thuộc vào $\mathrm{\Omega }$ sao cho $\underset{x\in \omega }{\sup }u(x)\le C\underset{x\in \omega }{\inf }u(x)$.