Bất đẳng thức hoán vị

Trong toán học, bất đẳng thức hoán vị là:

Cho hai dãy số thực ($x_n$),($y_n$),(n∈N) thỏa mãn:

$x_1\ge x_2\ge \cdots \ge x_n$

và

$y_1\ge y_2\ge \cdots \ge y_n$

Với mỗi hoán vị ($z_1,z_2,...,z_n$) của ($x_1,x_2,...,x_n$) ta có:

$x_1{y}_1+x_2{y}_2+...+x_n{y}_n\ge z_1{y}_1+z_2{y}_2+...+z_n{y}_n\ge x_n{y}_1+x_{n-1}{y}_2+...+x_1{y}_n$

Đẳng thức xảy ra khi một trong 2 dãy là "dừng", hoặc ($z_1,z_2,...,z_n$) đồng bậc với ($x_1,x_2,...,x_n$) hoặc ($x_n,...,x_2,x_1$)

Hệ quả: Cho dãy số thực ($x_n$),(n∈N) và ($z_1,z_2,...,z_n$) là một hoán vị của ($x_1,x_2,...,x_n$), ta có:

1/ ${x_1}^2+{x_2}^2+...+{x_n}^2\ge x_1{z}_1+x_2{z}_2+...+x_n{z}_n$

2/ $\frac{z_1}{x_1}+\frac{z_2}{x_2}+...+\frac{z_n}{x_n}\ge n$

Chứng minh

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

$y_1(x_1-z_1)+y_2(x_2-z_2)+y_3(x_3-z_3)+...+y_n(x_n-z_n)\ge 0$.

Theo khai triển Abel ta có:

$y_1(x_1-z_1)+y_2(x_2-z_2)+y_3(x_3-z_3)+...+y_n(x_n-z_n)$$=(y_1-y_2)(x_1-z_1)+(y_2-y_3)(x_1+x_2-z_1-z_2)+(y_3-y_4)(x_1+x_2+x_3-z_1-z_2-z_3)$$+...+(y_{n-1}-y_n)(x_1+x_2+...+x_{n-1}-z_1-z_2-...-z_{n-1})+y_n(x_1+x_2+...+x_n-z_1-z_2-...-z_n)$.

Do $x_1\ge x_2\ge ...\ge x_n$ và $y_1\ge y_2\ge ...\ge y_n$ nên tổng trên luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Bất đẳng thức đã cho được chứng minh.

Tham khảo

• G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Polya: Inequalities, Cambridge University Press (1952), Kapitel 10.2.