Chứng minh 22/7 lớn hơn π

Các chứng minh về mặt toán học rằng số hữu tỷ Bản mẫu:Sfrac là lớn hơn [[Pi|Bản mẫu:Pi]] (pi) đã có từ thời cổ đại. Một trong những chứng minh này, được phát triển gần đây nhưng chỉ yêu cầu các kỹ thuật cơ bản của tích phân, đã thu hút sự chú ý trong toán học hiện đại do vẻ đẹp toán học của nó và các mối liên hệ của nó với lý thuyết về xấp xỉ diophantine. Stephen Lucas gọi chứng minh này là "một trong những kết quả đẹp đẽ liên quan đến xấp xỉ Bản mẫu:Pi". Julian Havil kết thúc một cuộc thảo luận về các xấp xỉ phân số tiếp tục của Bản mẫu:Pi với kết quả, mô tả nó là "không thể cưỡng lại việc đề cập" đến chứng minh này trong bối cảnh trên.

Mục đích của các bằng chứng không phải là chủ yếu để thuyết phục các độc giả rằng Bản mẫu:Sfrac là thực sự lớn hơn Bản mẫu:Pi; phương pháp hệ thống tính toán giá trị của Bản mẫu:Pi tồn tại. Nếu biết rằng Bản mẫu:Pi là xấp xỉ 3,14159, thì có thể dễ dàng suy ra Bản mẫu:Pi < Bản mẫu:Sfrac vì số này khoảng 3,142857. Nhưng phải mất ít nhiều công sức để chứng minh rằng Bản mẫu:Pi < Bản mẫu:Sfrac theo phương pháp được sử dụng trong chứng minh này hơn để chứng minh rằng Bản mẫu:Pi là xấp xỉ 3.14159.

Bối cảnh

Bản mẫu:Sfrac là một số Diophantine xấp xỉ của Bản mẫu:Pi được sử dụng rộng rãi. Nó là một điểm hội tụ trong việc mở rộng liên phân số liên tục đơn giản của Bản mẫu:Pi. Nó lớn hơn Bản mẫu:Pi, như có thể dễ dàng nhìn thấy trong phần mở rộng thập phân của các giá trị này:

$\begin{array}{cc}\frac{22}{7}& =3.\overline{142857},\\ \pi & =3.14159265\dots \end{array}$

Giá trị gần đúng này đã được biết đến từ thời cổ đại. Archimedes đã viết những chứng minh đầu tiên được biết đến, rằng Bản mẫu:Sfrac là một ước lượng cận trên của pi trong TCN thế kỷ thứ 3, mặc dù ông có thể không phải là người đầu tiên sử dụng tỷ lệ xấp xỉ này. Chứng minh của ông là bằng cách hiển thị rằng Bản mẫu:Sfrac là lớn hơn tỷ số giữa chu vi của một đường tròn ngoại tiếp đa giác đều 96 cạnh và đường kính của vòng tròn. Bản mẫu:Refn

Chứng minh

Chứng minh này có thể được thể hiện rất ngắn gọn như sau:

$0<\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4{(1-x)}^4}{1+x^2}dx=\frac{22}{7}-\pi .$

Do đó, Bản mẫu:Sfrac > Bản mẫu:Pi.

Việc đánh giá tích phân này là bài toán đầu tiên trong Cuộc thi toán Putnam năm 1968. Nó dễ hơn hầu hết các bài toán cạnh tranh của Putnam, nhưng cuộc thi thường có các bài toán dường như tối nghĩa hóa ra lại đề cập đến một cái gì đó rất quen thuộc. Tích phân này cũng đã được sử dụng trong các kỳ thi tuyển sinh của Viện Công nghệ Ấn Độ.