Dòng chảy Poiseuille

Dòng chảy Poiseuille là dòng chảy tầng của chất lỏng qua một ống dẫn có dạng hình trụ (hoặc phần không gian giữa 2 hình trụ đồng tâm) hoặc giữa 2 mặt phẳng song song. Dòng chảy Poisseuille cũng được coi là một trong những nghiệm chính xác và đơn giản nhất của phương trình Navier-Stokes.

Bài toán đặt ra

Xét dòng chảy xuôi theo trục của ống của một chất lỏng không bị nén và là dòng dừng có độ nhớt $\eta$ trong ống hình trụ có tiết diện ngang tròn và có chết độ dòng chảy tầng. Giả sử 2 đầu ống hình trụ (có độ dài l) được giữ bởi áp suất p1, p2, bán kính hình trụ là R, ta xét tiết diện ngang của ống:

Sử dụng hệ tọa độ cực, xét lớp nước chứa trong hình xuyến trụ có bán kính trong là r, bán kính ngoài là r+dr với độ dài là l, lực ma sát nhớt động học tác dụng lên lớp chất lỏng ở mặt trong hình xuyến trụ, theo công thức Newton:

$F1=-\eta \frac{dv}{dr}2\pi rl$ (1)

Lực ma sát tác dụng lên lớp chất lỏng ở mặt ngoài hình xuyến trụ:

Khi đó,

$F2=-F1+dF1=\eta \frac{dv}{dr}2\pi rl+\eta 2\pi ld(r\frac{dv}{dr})$ (2)

Vì là dòng chảy tầng, chất lỏng trong hình xuyến trụ còn chịu tác dụng của lực sinh ra do chênh lệch áp suất ở 2 đầu ống:

$F3=(p1-p2)d(\pi r^2)=(p1-p2)2\pi rd(r)$ (3)

Vì là dòng dừng, gia tốc của phần chất lỏng hình xuyến trụ trên bằng không, theo tiên đề 2 newton cho động lực học:

$\sum _{i=1}^{3}Fi=0$ (4)

Từ (1)(2)(3) và (4):

$\eta 2\pi ld(r\frac{dv}{dr})+(p1-p2)2\pi rdr=0$

Tích phân 2 vế ta được:

$\int \eta 2\pi ld(r\frac{dv}{dr})+\int (p1-p2)2\pi rdr=const$

$2\eta lr\frac{dv}{dr}+(p1-p2)r^2=const$

Với r=0, ta có const=0

Phương trình trên được viết lại: $2\eta l\frac{dv}{dr}+(p1-p2)r=0$

$-\int dv=\left(\frac{p1-p2}{2\eta l}\right)\int rdr$

=> Với điều kiện biên khi r=R thì v=0 ta được:

$v(r)=\frac{1}{4\eta }\frac{p1-p2}{l}(R^2-r^2)$ (*)

Từ phương trình (*) ta tính lưu lượng toàn phần:

$V(t)=\underset{0}{\overset{R}{\int }}vd(\pi r^2)t=\underset{0}{\overset{R}{\int }}tv2\pi rdr=\frac{\pi }{8\eta }\frac{p1-p2}{l}{R}^{4}t$

Đây chính là phương trình Poiseuille cho dòng chất lỏng chảy qua một ống tiết diện tròn.

Định luật Poiseuille

Phương trình (định luật) Poiseuille - cho phép ta xác định lưu lượng chất lỏng khi dòng chảy (của chất lỏng nhớt không bị nén) đã được thiết lập trong ống hình trụ tròn:

$V(t)=\frac{\pi }{8\eta }\frac{p1-p2}{l}{R}^{4}t$

Tham khảo

Bản mẫu:Tham khảo Bản mẫu:Sơ khai Giáo trình Cơ học- Bạch Thành Công