Giới hạn Laplace

Trong toán học, giới hạn Laplace, hằng số Laplace hay hằng số giới hạn Laplace là giá trị tâm sai lớn nhất mà nghiệm của phương trình Kepler tồn tại, và được biểu diễn dưới dạng một chuỗi lũy thừa của tâm sai. Giá trị của nó là

Bản mẫu:Gaps Bản mẫu:OEIS.

Tính chất

Phương trình Kepler biểu diễn mối quan hệ giữa các tính chất hình học của quỹ đạo một vật thể chịu tác dụng của một lực xuyên tâm. Nó có dạng:

$M=E-e\sin E$,

trong đó Bản mẫu:Mvar là độ bất thường trung bình, Bản mẫu:Mvar là độ bất thường lệch tâm của một vật thể di chuyển theo quỹ đạo hình elíp với tâm sai Bản mẫu:Mvar. Phương trình này không thể giải tìm Bản mẫu:Mvar bằng các hàm sơ cấp, tuy nhiên định lý nghịch đảo Lagrange cho ta nghiệm dưới dạng một chuỗi lũy thừa của Bản mẫu:Mvar:

$\begin{array}{cc}E=M& +e\sin M+\frac{e^2}{2}\sin 2M\\ +& \frac{e^3}{3!2^2}(3^2\sin 3M-3\sin M)\\ +& \frac{e^4}{4!2^3}(4^3\sin 4M-4\cdot 2^3\sin 2M)\\ +& \frac{e^3}{5!2^4}(5^4\sin 5M-5\cdot 3^4\sin 3M+10\sin M)\\ +& \cdots \end{array}.$

Công thức tổng quát là:

$E=M+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^n}{2^{n-1}n!}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(n-2k{)}^{n-1}\sin ((n-2k)M).$

Laplace nhận ra rằng chuỗi này hội tụ với Bản mẫu:Mvar bé, nhưng phân kỳ với mọi Bản mẫu:Mvar không phải là bội của Bản mẫu:Math khi giá trị tâm sai Bản mẫu:Mvar vượt quá một hằng số nhất định, không phụ thuộc vào Bản mẫu:Mvar. Giá trị đó chính là giới hạn Laplace Bản mẫu:Math, và cũng là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa này.

Một biểu diễn khác là nếu ta gọi Bản mẫu:Math là nghiệm dương của phương trình Bản mẫu:Math (trong đó Bản mẫu:Math là hàm cotang hyperbolic) thì Bản mẫu:Math. Từ đây có thể suy ra giá trị lớn nhất của hàm số Bản mẫu:Math chính là Bản mẫu:Math, đạt tại Bản mẫu:Math.

Ngoài ra, Bản mẫu:Math là nghiệm dương duy nhất của phương trình

$\frac{x\exp (\sqrt{1+x^2})}{1+\sqrt{1+x^2}}=1.$

Xem thêm

• Độ lệch tâm quỹ đạo
• Phương trình Kepler

Liên kết ngoài

• Bản mẫu:MathWorld
• OEIS dãy A033259 (Biểu diễn thập phân của hằng số giới hạn Laplace)

Bản mẫu:Mathanalysis-stub Bản mẫu:Physics-stub