Hằng số Catalan

Bản mẫu:Short description Trong toán học và tổ hợp, hằng số Catalan Bản mẫu:Mvar, đặt tên theo nhà toán học Eugène Charles Catalan, được định nghĩa là

$G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^2}=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}-\cdots$

trong đó Bản mẫu:Mvar là hàm beta Dirichlet. Giá trị của nó là khoảng Bản mẫu:OEIS

Bản mẫu:Math

Bản mẫu:Unsolved Hiện vẫn chưa biết liệu Bản mẫu:Mvar là số vô tỷ hay không, chưa nói đến tính siêu việt của nó.

Chuỗi tương tự nhưng có vẻ phức tạp hơn

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^3}=\frac{1}{1^3}-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+\frac{1}{9^3}-\cdots$

có thể được tính bằng chính xác Bản mẫu:Math

Đẳng thức tích phân

Một số đồng nhất thức liên quan đến tích phân xác định bao gồm

$\begin{array}{cc}G& =\underset{[0,1{]}^2}{\iint }\frac{1}{1+x^2{y}^2}dxdy\\ G& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1-x}{\int }}\frac{1}{1-x^2-y^2}dydx\\ G& =\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\ln t}{1+t^2}dt\\ G& =-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln t}{1+t^2}dt\\ G& =\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{t}{\sin t\cos t}dt\\ G& =\frac{1}{4}\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{t}{\sin t}dt\\ G& =\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\ln \cot tdt\\ G& =-\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\ln \tan tdt\\ G& =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\ln (\sec t+\tan t)dt\\ G& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\arccos t}{\sqrt{1+t^2}}dt\\ G& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{arsinh}t}{\sqrt{1-t^2}}dt\\ G& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\arctan e^{-t}dt\\ G& =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t}{\cosh t}dt\\ G& =\frac{\pi }{2}\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{(t^4-6t^2+1)\ln \ln t}{(1+t^2{)}^3}dt\\ G& =1+\underset{\alpha \to 1^{-}}{\lim }\{\underset{0}{\overset{\alpha }{\int }}\frac{(1+6t^2+t^4)\arctan t}{t(1-t^2{)}^2}dt+2\mathrm{arctanh}\alpha -\frac{\pi \alpha }{1-{\alpha }^2}\}\\ G& =1-\frac{1}{8}\underset{{ℝ}^2}{\iint }\frac{x\sin (2xy/\pi )}{(x^2+{\pi }^2)\cosh x\sinh y}dxdy\end{array}$

trong đó ba công thức cuối liên quan đến tích phân Malmsten.

Nếu Bản mẫu:Math là tích phân elliptic đầy đủ loại I, với Bản mẫu:Math là môđun elliptic, thì

$G=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{K}(k)dk.$

Với hàm gamma Bản mẫu:Math

$\begin{array}{cc}G& =\frac{\pi }{4}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{\Gamma }(1+\frac{x}{2})\mathrm{\Gamma }(1-\frac{x}{2})dx\\ & =\frac{\pi }{2}\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\mathrm{\Gamma }(1+y)\mathrm{\Gamma }(1-y)dy.\end{array}$

Tích phân

$G={\mathrm{Ti}}_2(1)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\arctan t}{t}dt$

là một hàm số đặc biệt, gọi là tích phân hàm tan nghịch, và được nghiên cứu đặc biệt bởi Srinivasa Ramanujan.

Ứng dụng

Hằng số Bản mẫu:Mvar xuất hiện trong tổ hợp, cũng như các giá trị của hàm polygamma thứ hai (còn gọi là hàm trigamma):

$\begin{array}{cc}{\psi }_1\left(\frac{1}{4}\right)& ={\pi }^2+8G\\ {\psi }_1\left(\frac{3}{4}\right)& ={\pi }^2-8G.\end{array}$

Simon Plouffe đưa ra một tập hợp vô hạn các đẳng thức giữa hàm trigamma, Bản mẫu:Math và hằng số Catalan; chúng được biểu diễn thành các đường đi trên một đồ thị.

Trong tôpô ít chiều, hằng số Catalan là bội của thể tích của một khối bát diện hyperbolic lý tưởng.

Nó cũng xuất hiện trong phân phối sec hyperbolic.

Liên hệ với những hàm số khác

Hằng số Catalan xuất hiện thường xuyên trong những hàm Clausen, tích phân tan nghịch, tích phân sin nghịch, [[Hàm G Barnes|hàm Bản mẫu:Mvar Barnes]], cũng như tích phân và chuỗi hội tụ của những hàm này.

Một ví dụ cụ thể, bằng cách biểu diễn tích phân tan ngược theo hàm Clausen, sau đó biểu diễn các hàm Clausen theo hàm Bản mẫu:Mvar Barnes, ta được hệ thức sau đây (xem thêm hàm Clausen):

$G=4\pi \log \left(\frac{G\left(\frac{3}{8}\right)G\left(\frac{7}{8}\right)}{G\left(\frac{1}{8}\right)G\left(\frac{5}{8}\right)}\right)+4\pi \log \left(\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{8}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{8}\right)}\right)+\frac{\pi }{2}\log \left(\frac{1+\sqrt{2}}{2(2-\sqrt{2})}\right)$.

Nếu ta định nghĩa siêu việt Lerch Bản mẫu:Math (liên quan đến hàm zeta Lerch) là

$\mathrm{\Phi }(z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{(n+\alpha {)}^s},$

thì

$G=\frac{1}{4}\mathrm{\Phi }(-1,2,\frac{1}{2}).$

Chuỗi hội tụ nhanh

Hai công thức sau gồm những chuỗi hội tụ nhanh, phù hợp để tính giá trị của hằng số này:

$\begin{array}{cc}G& =3\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{4n}}(-\frac{1}{2(8n+2{)}^2}+\frac{1}{2^2(8n+3{)}^2}-\frac{1}{2^3(8n+5{)}^2}+\frac{1}{2^3(8n+6{)}^2}-\frac{1}{2^4(8n+7{)}^2}+\frac{1}{2(8n+1{)}^2})-\\ & -2\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{12n}}(\frac{1}{2^4(8n+2{)}^2}+\frac{1}{2^6(8n+3{)}^2}-\frac{1}{2^9(8n+5{)}^2}-\frac{1}{2^{10}(8n+6{)}^2}-\frac{1}{2^{12}(8n+7{)}^2}+\frac{1}{2^3(8n+1{)}^2})\end{array}$

và

$G=\frac{\pi }{8}\log (2+\sqrt{3})+\frac{3}{8}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1{)}^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}.$

Nền tảng lý thuyết cho hai chuỗi trên được đặt ra bởi Broadhurst, cho công thức thứ nhất, và Ramanujan, cho công thức thứ hai. Một thuật toán để tính nhanh hằng số Catalan được xây dựng bởi E. Karatsuba.

Chữ số đã biết

Số chữ số đã tính được của hằng số Catalan Bản mẫu:Mvar ngày càng tăng trong những thập kỷ gần đây, nhờ vào hiệu năng của máy tính và cải thiện trong thuận toán.

Số chữ số thập phân đã biết của hằng số Catalan Bản mẫu:Mvar

Ngày	Số chữ số thập phân	Tính bởi
1832	16	Thomas Clausen
1858	19	Carl Johan Danielsson Hill
1864	14	Eugène Charles Catalan
1877	20	James W. L. Glaisher
1913	32	James W. L. Glaisher
1990	Bản mẫu:Val	Greg J. Fee
1996	Bản mẫu:Val	Greg J. Fee
Tháng 8, 1996	Bản mẫu:Val	Greg J. Fee & Simon Plouffe
Tháng 9, 1996	Bản mẫu:Val	Thomas Papanikolaou
1996	Bản mẫu:Val	Thomas Papanikolaou
1997	Bản mẫu:Val	Patrick Demichel
Tháng 1, 1998	Bản mẫu:Val	Xavier Gourdon
2001	Bản mẫu:Val	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2002	Bản mẫu:Val	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
Tháng 10 2006	Bản mẫu:Val	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
Tháng 8, 2008	Bản mẫu:Val	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
Tháng 1, 2009	Bản mẫu:Val	Alexander J. Yee & Raymond Chan
Tháng 4, 2009	Bản mẫu:Val	Alexander J. Yee & Raymond Chan
Tháng 6, 2015	Bản mẫu:Val	Robert J. Setti
Tháng 4, 2016	Bản mẫu:Val	Ron Watkins
Tháng 2, 2019	Bản mẫu:Val	Tizian Hanselmann
Tháng 3, 2019	Bản mẫu:Val	Mike A & Ian Cutress
Tháng 7, 2019	Bản mẫu:Val	Seungmin Kim

Xem thê

• Các giá trị cụ thể của hàm zeta Riemann
• Hằng số toán học

Liên kết ngoài

• Victor Adamchik, 33 representations for Catalan's constant Bản mẫu:Webarchive (undated)
• Bản mẫu:Chú thích tạp chí
• Bản mẫu:Chú thích web (Provides over one hundred different identities).
• Simon Plouffe, A few identities with Catalan constant and Pi^2 Bản mẫu:Webarchive, (1999) (Provides a graphical interpretation of the relations)
• Bản mẫu:MathWorld
• Catalan constant: Generalized power series at the Wolfram Functions Site
• Greg Fee, Catalan's Constant (Ramanujan's Formula) (1996) (Provides the first 300,000 digits of Catalan's constant.).
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Chú thích tạp chí
• Bản mẫu:Chú thích tạp chí
• Bản mẫu:Citation

• Bản mẫu:Springer
• Catalan's Constant — from Wolfram MathWorld
• Catalan's Constant (Ramanujan's Formula)
• catalan's constant — www.cs.cmu.edu