Khối tròn xoay

Khi quay một đường cong quanh một trục tạo thành mặt tròn xoay; nó là mặt của khối tròn xoay.

Tập tin:Revolução de poliedros 03.webm Trong toán học, kỹ thuật, và sản xuất chế tạo, khối tròn xoay là một hình khối thu được bằng cách quay một đường cong phẳng xung quanh một đường thẳng (trục quay) nằm trên cùng mặt phẳng.

Giả sử đường cong không cắt trục quay, khi đó thể tích của khối tròn xoay bằng độ dài của đường tròn vẽ bởi trọng tâm của khối nhân với diện tích mặt tròn xoay (hay còn gọi là định lý trọng tâm Pappus).

Cách biểu diễn bằng đĩa là một nguyên tố thể tích (volume element) 3 chiều của khối tròn xoay. Nguyên tố được tạo bằng cách quay một đoạn thẳng (của độ dài Bản mẫu:Mvar) quanh một trục (nằm cách xa Bản mẫu:Mvar đơn vị), do vậy thể tích của hình trụ bằng Bản mẫu:Math đơn vị nó chứa.

Tìm thể tích

Có hai phương pháp phổ biến nhằm tìm thể tích khối tròn xoay là phương pháp đĩa và phương pháp tích phân phân vỏ. Để áp dụng các phương pháp này, cách dễ nhất là vẽ đồ thị xác định đường cong; tìm diện tích nó chứa mà sẽ được quay quanh trục; sau đó xác định thể tích bằng nhát cắt dạng đĩa của khối, với độ dày bằng Bản mẫu:Mvar, hoặc bằng vỏ trụ với bề rộng Bản mẫu:Mvar; sau đó tìm giới hạn của tổng các nguyên tố thể tích này khi Bản mẫu:Mvar tiến tới 0, mà giá trị có thể tìm được bằng cách tính tích phân.

Phương pháp đĩa

Tích phân đĩa xung quanh trục y.

Phương pháp đĩa được sử dụng khi nhát cắt vẽ ra vuông góc với trục quay; nghĩa là khi thực hiện tích phân song song với trục quay.

Thể tích của khối tròn xoay hình thành bằng cách quay miền diện tích giới hạn bởi các đường cong Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math và các đường thẳng Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math quanh trục Bản mẫu:Mvar xác định bằng

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x{)}^2-g(x{)}^2|dx.$

Nếu Bản mẫu:Math (ví dụ xoay một đường cong quanh trục Bản mẫu:Mvar), công thức thu gọn thành:

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x{)}^{2}dx.$

Có thể hình dung phương pháp này bằng cách coi một hình chữ nhật nhỏ nằm ngang ở tọa độ Bản mẫu:Mvar giữa Bản mẫu:Math nằm trên và Bản mẫu:Math nằm ở dưới, và quay nó xung quanh trục Bản mẫu:Mvar; khi đó nó tạo thành một vòng xuyến (hoặc đĩa trong trường hợp Bản mẫu:Math), với bán kính ngoài bằng Bản mẫu:Math và bán kính trong bằng Bản mẫu:Math. Diện tích của vòng bằng Bản mẫu:Math, với Bản mẫu:Mvar là bán kính ngoài (trong trường hợp Bản mẫu:Math), và Bản mẫu:Mvar là bán kính trong (trong trường hợp Bản mẫu:Math). Thể tích của mỗi đĩa vô cùng bé do đó bằng Bản mẫu:Math. Giới hạn của tổng Riemann của thể tích các đĩa nằm giữa Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar trở thành tích phân (1).

Phương pháp hình trụ

Tích phân vỏ

Bản mẫu:Multiple image Phương pháp hình trụ được sử dụng khi các khối nhát cắt được vẽ song song với trục quay; tức là thực hiện tích phân vuông góc với trục quay.

Thể tích khối tròn xoay nằm giữa các đường cong Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math và các đường thẳng Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math quay quanh trục Bản mẫu:Mvar cho bởi

$V=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}x|f(x)-g(x)|dx.$

Nếu Bản mẫu:Math (ví dụ quay vùng diện tích giới hạn bởi đường cong và trục Bản mẫu:Mvar), công thức trên trở thành:

$V=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}x|f(x)|dx.$

Phương pháp này có thể hình dung bằng một hình chữ nhật theo phương đứng ở tọa độ Bản mẫu:Mvar với chiều cao bằng Bản mẫu:Math, và quay xung quanh trục Bản mẫu:Mvar; nó tạo thành cái vỏ hình trụ. Diện tích bề mặt của hình trụ bằng Bản mẫu:Math, với Bản mẫu:Mvar là bán kính (trong trường hợp Bản mẫu:Mvar), và Bản mẫu:Mvar là chiều cao (trong trường hợp Bản mẫu:Math). Cộng tổng diện tích của mặt dọc theo tích phân thu được tổng thể tích khối tròn xoay.

Dạng tham số

Toán học và nghệ thuật: nghiên cứu bình hoa khi coi nó là khối tròn xoay bởi Paolo Uccello ở thế kỷ thứ 15.

Khi một đường cong được xác định bởi dạng phương trình tham số Bản mẫu:Math trên đoạn Bản mẫu:Math, thể tích của khối tròn xoay xác định bởi đường sinh quay quanh trục Bản mẫu:Mvar hoặc trục Bản mẫu:Mvar cho bởi:

$V_x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\pi y^2\frac{dx}{dt}dt,$

$V_y=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\pi x^2\frac{dy}{dt}dt.$

Trong một số trường hợp, diện tích mặt của khối tròn xoay tạo bởi đường sinh xung quanh trục Bản mẫu:Mvar hoặc trục Bản mẫu:Mvar cho bởi:

$A_x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}2\pi y\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt,$

$A_y=\underset{a}{\overset{b}{\int }}2\pi x\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt.$

Xem thêm

• Sừng Gabriel
• Định lý Guldinus
• Giả mặt cầu (Pseudosphere)
• Mặt tròn xoay
• Múi (Ungula)

Tham khảo

• Bản mẫu:Chú thích web
• Bản mẫu:Chú thích sách (Bản mẫu:Google books)
• Bản mẫu:MathWorld