Kronecker delta

Trong toán học, ký hiệu Kronecker delta là một hàm số của hai biến, thường là các số nguyên không âm. Hàm số có giá trị 1 nếu hai biến bằng nhau, và 0 nếu chúng khác nhau: $${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}1& i=j,\\ 0& i\ne j.\end{array}$$ hoặc bằng dấu ngoặc Iverson: $${\delta }_{ij}=[i=j]$$ trong đó Kronecker delta Bản mẫu:Mvar là một hàm số xác định theo từng khoảng của các giá trị Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar. Ví dụ, Bản mẫu:Math, còn Bản mẫu:Math. Hàm Kronecker delta xuất hiện thường xuyên trong các ngành toán học, vật lý, và kỹ thuật để đơn giản hóa định nghĩa ở trên. Hàm số được đặt tên theo Leopold Kronecker.

Trong đại số tuyến tính, ma trận đơn vị Bản mẫu:Math kích thước Bản mẫu:Math có các phần tử xác định bằng Kronecker delta: $$I_{ij}={\delta }_{ij}$$ trong đó Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar mang các giá trị Bản mẫu:Math. Ngoài ra, tích trong của các vectơ có thể được viết dưới dạng $$𝐚\cdot 𝐛=\sum _{i,j=1}^n{\delta }_{ij}{a}_i{b}_j=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i.$$

Thông thường, hàm Kronecker delta chỉ được xét trên tập số nguyên, tuy nhiên nó có thể được định nghĩa trên một tập hợp bất kỳ.

Tính chất

Ta có những đẳng thức sau $$\begin{array}{cc}\sum _j{\delta }_{ij}{a}_j& =a_i,\\ \sum _i{a}_i{\delta }_{ij}& =a_j,\\ \sum _k{\delta }_{ik}{\delta }_{kj}& ={\delta }_{ij}.\end{array}$$ Do đó, ma trận Bản mẫu:Math có thể được coi như một ma trận đơn vị.

Một dạng khác cũng đôi khi được sử dụng là dạng chuỗi cấp số nhân: $${\delta }_{nm}=\frac{1}{N}\sum _{k=1}^N{e}^{2\pi i\frac{k}{N}(n-m)}$$

Ký hiệu

Ta có thể biểu diễn Kronecker delta bằng dấu ngoặc Iverson: $${\delta }_{ij}=[i=j].$$

Ngoài ra, ký hiệu một biến Bản mẫu:Mvar cũng thường xuất hiện, tương đương với việc cho Bản mẫu:Math: $${\delta }_i=\{\begin{array}{cc}1,& i=0,\\ 0,& i\ne 0.\end{array}$$

Trong đại số tuyến tính, Kronecker delta có thể được coi là một tensor và ký hiệu bằngBản mẫu:Mvar. Đôi khi nó được gọi là tensor thay thế.

Xem thêm

• Độ đo Dirac
• Hàm chỉ thị
• Ký hiệu Levi-Civita
• Cổng XNOR