Nhóm tuyến tính tổng quát

Trong toán học, đặc biệt là trong Đại số trừu tượng và Đại số tuyến tính, nhóm tuyến tính tổng quát bậc n là tập hợp ma trận khả nghịch $n\times n$, cùng với phép toán nhân ma trận làm phép toán nhóm. Nó tạo thành một nhóm, là bởi vì tích của hai ma trận khả nghịch là một ma trận khả nghịch, và nghịch đảo của một ma trận khả nghịch cũng là một ma trận khả nghịch, với ma trận đơn vị là phần tử đơn vị của nhóm. Nhóm được đặt tên như vậy là do các cột của ma trận độc lập tuyến tính với nhau.

Để chính xác hơn, ta cần phải xác định các phần tử trong ma trận thuộc nhóm đối tượng nào. Ví dụ, nhóm tuyến tính tổng quát trên R (tập các số thực) là nhóm ma trận khả nghịch $n\times n$ của các số thực, được ký hiệu là GL_n(R) hoặc Bản mẫu:Nowrap.

Tổng quát hơn, nhóm tuyến tính tổng quát của bậc n trên bất kỳ trường F nào (chẳng hạn như số phức), hoặc một vành R (chẳng hạn như vành các số nguyên), là tập hợp ma trận khả nghịch $n\times n$ với các phần tử từ F (hoặc R), tạo thành một nhóm với phép nhân ma trận là phép toán nhóm. Kí hiệu hay dùng là GL_n(F) hoặc Bản mẫu:Nowrap.

Nhóm tuyến tính đặc biệt, kí hiệu là Bản mẫu:Nowrap hoặc SL_n(F), là nhóm con của Bản mẫu:Nowrap chỉ bao gồm các ma trận với định thức là 1.

Nếu Bản mẫu:Nowrap, thì nhóm Bản mẫu:Nowrap không phải là nhóm giao hoán.

Nhóm tuyến tính tổng quát của không gian vectơ

Nếu V là một không gian vectơ trên trường F, thì nhóm tuyến tính tổng quát của V, viết tắt là GL(V) hoặc Aut(V), là nhóm của tất cả tự đẳng cấu của V, tức là tập hợp tất cả các phép biến đổi tuyến tính có tính song ánh Bản mẫu:Nowrap, cùng với phép hợp hàm làm phép toán trong nhóm. Nếu V có hữu hạn chiều n thì GL (V) và Bản mẫu:Nowrap đẳng cấu với nhau. Phép đẳng cấu không thể tự tìm ngay ra được; nó phụ thuộc vào việc lựa chọn cơ sở trong V. Cho một cơ sở Bản mẫu:Nowrap của V và một phép tự đẳng cấu T trong GL(V), khi đó chúng ta có với mọi vectơ cơ sở e_i rằng

$T(e_i)=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{e}_j$

đối với một số hằng số a_ij trong F; ma trận tương ứng với T chỉ là ma trận với các phần tử được nhập từ các a_ij.

Định thức

Trên một trường F, một ma trận là khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác 0. Do đó, ta có thể đưa ra định nghĩa thay thế khác của Bản mẫu:Nowrap là một nhóm ma trận có định thức khác không.

Trên vành giao hoán R, ta cần cẩn thận hơn: ma trận trên R là khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó là một đơn vị trong R (một phần tử u trong R là đơn vị, nếu tồn tại một phần tử v thuộc R sao cho uv = vu = 1, nghĩa là, u có phần tử nghịch đảo với phép nhân trong R). Do đó, Bản mẫu:Nowrap có thể được định nghĩa là nhóm ma trận mà các định thức của nó là các đơn vị trong R.

Trên vành không giao hoán R, định thức không được xác định. Trong trường này, Bản mẫu:Nowrap có thể xem là nhóm đơn vị của vành ma trận Bản mẫu:Nowrap.

Là nhóm Lie

Trường hợp thực

Nhóm tuyến tính tổng quát Bản mẫu:Nowrap trên trường số thực là nhóm Lie thực có chiều n². Để chứng minh, để ý tập hợp của tất cả các ma trận thực kích thước Bản mẫu:Nowrap , M_n(R), tạo không gian vectơ có chiều n². Tập con của Bản mẫu:Nowrap chứa toàn bộ các ma trận mà định thức khác không. Định thức là ánh xạ đa thức, và do đó Bản mẫu:Nowrap là đa tạp con affin mở của M_n(R) (tập con mở khác rỗng của M_n(R) trong tô pô Zariski),do đó bằng với đa tạp trơn có cùng số chiều.

Đại số Lie của Bản mẫu:Nowrap, ký hiệu ${𝔤𝔩}_n,$ chứa toàn bộ ma trận thực kích thước Bản mẫu:Nowrap với giao hoán tử là bracket Lie.

Là đa tạp, Bản mẫu:Nowrap không liên thông nhưng có hai thành phần liên thông sau: các ma trận với định thức dương và các ma trận với định thức âm. Thành phần đơn vị, ký hiệu bởi Bản mẫu:Nowrap, chứa toàn bộ các ma trận thưc kích thước Bản mẫu:Nowrap có định thức dương. Đây cũng là nhóm Lie với chiều n²; nó có cùng đại số Lie với Bản mẫu:Nowrap.

Trường hợp phức

Nhóm tuyến tính tổng quát trên trường các số phức, Bản mẫu:Nowrap, là nhóm Lie phức có chiều phức n². Khi là nhóm Lie thực (qua việc thực hóa), nó có chiều 2n². Tập tất cả các ma trận thực tạo thành nhóm con Lie thực. Chúng tương ứng với bao hàm sau

GL(n, R) < GL(n, C) < GL(2n, R),

Trong đó từ các nhóm từ trái sang phải có chiều n², 2n², và Bản mẫu:Nowrap.

Trên các trường hữu hạn

Bảng Cayley của Bản mẫu:Nowrap, nhóm này đẳng cấu với S₃.

Nếu F là một trường hữu hạn với q phần tử, thì đôi khi chúng ta viết Bản mẫu:Nowrap thay vì Bản mẫu:Nowrap. KHi p là số nguyên tố, Bản mẫu:Nowrap là nhóm tự đẳng cấu ngoài của nhóm ZBản mẫu:SubBản mẫu:Sup, và cũng là nhóm tự đẳng cấu, bởi ZBản mẫu:SubBản mẫu:Sup giao hoán, do đó nhóm tự đẳng cấu trong là nhóm tầm thường.

Cấp của nhóm Bản mẫu:Nowrap là:

$\prod _{k=0}^{n-1}(q^n-q^k)=(q^n-1)(q^n-q)(q^n-q^2)\cdots (q^n-q^{n-1}).$

Ta có thể chứng minh bằng cách đếm số cột khả thi trong ma trận: cột đầu tiên có thể là tùy ý ngoại trừ vectơ không; cột thứ hai có thể là tùy ý nhưng không được là bội của cột đầu; và tổng quát thì, cột thứ k có thể là vectơ tùy ý không nằm trong span tuyến tính của Bản mẫu:Nowrap cột đầu tiên.

Lấy ví dụ, Bản mẫu:Nowrap có cấp Bản mẫu:Nowrap. Nó là nhóm tự đẳng cấu của mặt phẳng Fano và của nhóm ZBản mẫu:SubBản mẫu:Sup, hay còn được gọi là Bản mẫu:Nowrap.

Tổng quát hơn, ta có thể đếm số điểm Grassmann trên trường F: nói cách khác số không gian con có chiều k. Cách này tìm này chỉ yêu cầu tìm cấp của nhóm con ổn định hóa của một không gian con như rồi chia cho công thức vừa đưa, theo định lý ổn định hóa quỹ đạo.