Phần bù (lý thuyết tập hợp)

Trong lý thuyết tập hợp, phần bù hay bù của tập hợp (toán học) Bản mẫu:Mvar thường được ký hiệu là Bản mẫu:Math (hoặc Bản mẫu:Math), là tập hợp các phần tử không nằm trong Bản mẫu:Mvar.

Khi tất cả các tập đều nằm trong một vũ trụ (tập vũ trụ Bản mẫu:Mvar là tập tất cả các tập hợp đang cần xét), thì phần bù tuyệt đối của Bản mẫu:Mvar là tập tất cả các phần tử thuộc Bản mẫu:Mvar nhưng không nằm trong Bản mẫu:Mvar.

Phần bù tương đối của Bản mẫu:Mvar tương ứng với tập hợp Bản mẫu:Mvar còn được gọi là hiệu tập hợp giữa Bản mẫu:Mvar với Bản mẫu:Mvar, đượ ký hiệu là $B\setminus A,$ và là tập các phần tử thuộc Bản mẫu:Mvar nhưng không thuộc về Bản mẫu:Mvar.

Phần bù tuyệt đối

Phần bù tuyệt đối của hình tròn màu trắng là miền màu đỏ

Định nghĩa

Nếu Bản mẫu:Mvar là một tập hợp, thì phần bù tuyệt đối của Bản mẫu:Mvar (hay nói gọn đi là bù của Bản mẫu:Mvar) là tập tất cả phần tử không thuộc Bản mẫu:Mvar (tập này nằm trong một tập lớn hơn đã được định nghĩa trước). Nói cách khác, gọi Bản mẫu:Mvar là tập đang chứa tất cả các phần tử đang cần phải xét (nếu như không cần xác định Bản mẫu:Mvar thì có nghĩa nó đã được định nghĩa trước ngay từ đầu), khi đó phần bù tuyệt đối của Bản mẫu:Mvar là phần bù tương đối của Bản mẫu:Mvar trong Bản mẫu:Mvar: $$A^{\complement }=U\setminus A.$$

Nói rõ hơn: $$A^{\complement }=\{x\in U:x\notin A\}.$$

Phần bù tuyệt đối của Bản mẫu:Mvar thường được ký hiệu bởi Bản mẫu:Math Các cách ký hiệu khác bao gồm $\bar{A},A^{\prime },$ ${\complement }_{U}A,\text{ và }\complement A.$

Các ví dụ

• Giả sử rằng tập vũ trụ là tập tất cả các số nguyên. Nếu Bản mẫu:Mvar là tập các số lẻ thì bù của Bản mẫu:Mvar là tập các số chẵn. Nếu Bản mẫu:Mvar là tập hợp các bội của 3, thì bù của Bản mẫu:Mvar là tập các số đồng dư với 1 hoặc 2 môđun 3 (nói đơn giản hơn là các số không chia hết cho 3).
• Giả sử rằng tập vũ trụ là bộ bài chuẩn 52 lá, nếu tập hợp Bản mẫu:Mvar là tập các lá bích, thì bù của Bản mẫu:Mvar là hợp của tập lá cơ, tập lá rô và tập lá chuồn. Nếu tập Bản mẫu:Mvar là hợp của tập lá chuồn và rô thì bủ của Bản mẫu:Mvar là hợp của tập lá cơ và bích.

Tính chất

Gọi Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar là hai tập hợp nằm trong vũ trụ Bản mẫu:Mvar. Sau đây là hai tính chất quan trọng của phần bù tuyệt đối:

Luật De Morgan:

• ${(A\cup B)}^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }.$
• ${(A\cap B)}^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.$

Luật bù:

• $A\cup A^{\complement }=U.$
• $A\cap A^{\complement }=\varnothing .$
• ${\varnothing }^{\complement }=U.$
• $U^{\complement }=\varnothing .$
• $\text{Nếu }A\subseteq B\text{, thì }{B}^{\complement }\subseteq A^{\complement }.$

  (có thể chứng minh bằng phản chứng).

Phép chập hay phần bù kép:

• ${\left(A^{\complement }\right)}^{\complement }=A.$

Quan hệ giữa bù tương đối và bù tuyệt đối:

• $A\setminus B=A\cap B^{\complement }.$
• $(A\setminus B{)}^{\complement }=A^{\complement }\cup B=A^{\complement }\cup (B\cap A).$

Quan hệ của hiệu tập hợp:

• $A^{\complement }\setminus B^{\complement }=B\setminus A.$

Hai luật bù đầu tiên ở trên chỉ ra rằng nếu tập Bản mẫu:Math không rỗng là tập con thực sự của Bản mẫu:Math, thì Bản mẫu:Math là phân hoạch của Bản mẫu:Math.

Phần bù tương đối

Định nghĩa

Nếu Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math là hai tập hợp, thì phần bù tương đối của Bản mẫu:Math trong Bản mẫu:Math, hay còn gọi là hiệu tập hợp của Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Math, là tập tất cả các phần tử thuộc Bản mẫu:Math nhưng không thuộc Bản mẫu:Math.

Phần bù tương đối của Bản mẫu:Math trong Bản mẫu:Math dưới ký hiệu toán học: $B\cap A^{\complement }=B\setminus A$

Phần bù tương đối của Bản mẫu:Math trong Bản mẫu:Math được ký hiệu là $B\setminus A$ theo tiêu chuẩn ISO 31-11. Đôi khi cũng được ký hiệu là $B-A,$ song ký hiệu này không rõ ràng trong một số ngữ cảnh (ví dụ chẳng hạn, các phép tập hợp của Minkowski trong giải tích hàm). Chẳng hạn như, nó có thể coi là tập tất cả các phần tử $b-a,$ trong đó Bản mẫu:Math thuộc về Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math thuộc về Bản mẫu:Math.

Dưới ký hiệu toán học: $$B\setminus A=\{x\in B:x\notin A\}.$$

Các ví dụ

• $\{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}.$
• $\{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}.$
• Nếu $ℝ$ là tập các số thực và $\mathbb{Q}$ là tập các số hữu tỉ thì $ℝ\setminus \mathbb{Q}$ là tập các số vô tỉ

Tính chất

Đặt Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math, và Bản mẫu:Math là các tập hợp. Các định thức sau chỉ ra các tính chất quan trọng của phần bù tương đối:

• $C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B).$
• $C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B).$
• $C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B),$

  trong đó có trường hợp đặc biệt $C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)$ chứng minh rằng phần giao của hai tập hợp có thể biểu diễn bằng hiệu tập hợp)

• $(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A).$
• $(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C).$
• $A\setminus A=\mathrm{\varnothing }.$
• $\mathrm{\varnothing }\setminus A=\mathrm{\varnothing }.$
• $A\setminus \mathrm{\varnothing }=A.$
• $A\setminus U=\mathrm{\varnothing }.$
• Nếu $A\subset B$, thì $C\setminus A\supset C\setminus B$.
• $A\supseteq B\setminus C$ tương đương với $C\supseteq B\setminus A$.

Quan hệ bù

Quan hệ hai ngôi $R$ được định nghĩa là tập con của tích tập hợp $X\times Y.$ Quan hệ bù $\overline{R}$ là bù của quan hệ $R$ trong $X\times Y.$ Bù của quan hệ $R$ được viết ngắn gọn như sau $$\overline{R}=(X\times Y)\setminus R.$$ Trong lý thuyết, $R$ được xem là ma trận logic trong đó các hàng biểu diễn các phần tử thuộc $X,$ còn cột biểu diễn các phần tử thuộc $Y.$ Khi $aRb$ đúng, thì giá trị của $aRb$ bằng với 1 trong ô hàng $a,$ cột $b.$ trong ma trận lôgic. Ma trận lôgic của quan hệ bù của $R$ được xây bằng cách đổi các số 1 sang 0 và các số 0 về số 1 trong ma trận lôgic của $R$

Quan hệ bù cùng với hợp quan hệ,quan hệ ngược và đại số tập hợp là các phép toán sơ cấp của vi tích phân quan hệ.

Ký hiệu trong LaTeX

Trong ngôn ngữ soạn thảo tài liệu LaTeX, lệnh \setminus thường được dùng để hiển thị ký hiệu hiệu tập hợp, ký hiệu này gần giống với dấu gạch chéo ngược . Khi được hiển thị, lệnh \setminus giống ý hệt \backslash, chỉ ngoại trừ việc nó có nhiều khoảng cách đằng trước và đằng sau dấu gạch chéo, na ná chuỗi lệnh LaTeX \mathbin{\backslash}. Phiên bản khác \smallsetminus có trong gói amssymb. Ký hiệu $\complement$ (ngược với $C$) lấy từ lệnh \complement. (Nó tương với ký hiệu Unicode ∁.)

Trong ngôn ngữ lập trình

Một số ngôn ngữ lập trình đã cài đặt sẵn một số cấu trúc dữ liệu như tập hợp. Thường thì cấu trúc đó có hoạt động giống với tập hữu hạn, tức là nó chỉ có hữu hạn số phần tử không được sắp theo thứ tự nào cả. Trong một số trường hợp, các phần tử trong tập không nhất thiết phải phân biệt, tức là cấu trúc lúc này mô tả đa tập hợp (multiset) thay vì tập hợp thông thường. Các ngôn ngữ này thường có toán tử hoặc hàm viết sẵn cho phần bù và hiệu tập hợp.

Các toán tử này có thể áp dụng cho cả các cấu trúc dữ liệu không phải tập hợp trong toán học, ví dụ danh sách liên kết hoặc mảng. Do đó một vài ngôn ngữ lập trình có sẵn hàm set_difference kể cả khi đầu vào của nó không nhất thiết phải là tập hợp.

Xem thêm

• Bản mẫu:Annotated link
• Bản mẫu:Annotated link
• Bản mẫu:Annotated link
• Bản mẫu:Annotated link
• Bản mẫu:Annotated link

Tham khảo

• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách

Liên kết ngoài

• Bản mẫu:MathWorld
• Bản mẫu:MathWorld