Số Lebesgue

Bản mẫu:Cần biên tập Bản mẫu:Chú thích trong bài Trong tô pô, bổ đề số Lebesgue là công cụ hữu dụng trong không gian mêtric compact. Bổ đề nói rằng:

Cho $A$ là phủ mở của không gian mêtric $(X,d)$. Nếu $X$ là compact, thì có $\epsilon >0$ sao cho với mỗi quả cầu bán kính $\epsilon$ thì chứa trong một thành phần của $A$.

Chứng minh

Với mỗi $x\in X$ có một tập mở $U_x\in A$ chứa $x$. Có một số ${\epsilon }_x>0$ sao cho quả cầu $B(x,2{\epsilon }_x)$ chứa trong $U_x$. Họ

$\{B(x,{\epsilon }_x)|x\in X\}$

là phủ mở của $X$, nên có phủ con hữu hạn

$\{B(x_i,{\epsilon }_i)|1\le i\le n\}$.

Đặt

$\epsilon =\min \{{\epsilon }_i|1\le i\le n\}$.

Giả sử rằng $y\in B(x,\epsilon )$. Khi đó có $i_0,1\le i_0\le n$, sao cho $x\in B(x_{i_0},{\epsilon }_{i_0})$. Ta có

$d(y,x_{i_0})\le d(y,x)+d(x,x_{i_0})<\epsilon +{\epsilon }_{i_0}\le 2{\epsilon }_{i0}.$

Điều này dẫn đến $y$ nằm trong thành phần $U_{x_{i_0}}$ của $A$, và $B(x,\epsilon )$ chứa trong $U_{x_{i_0}}$.

Tham khảo

• Bản mẫu:Citation.