Tâm (nhóm)

Bản mẫu:Về-phân biệt Trong đại số trừu tượng, tâm của một nhóm Bản mẫu:Math là tập hợp các phần tử giao hoán với mọi phần tử của Bản mẫu:Math. Nó được ký hiệu là Bản mẫu:Math, từ tiếng Đức Zentrum, có nghĩa là trung tâm. Ta có

Bản mẫu:Math}.

Tâm là một nhóm con chuẩn tắc, Bản mẫu:Math.

Tính chất

Tâm của G luôn là một nhóm con của Bản mẫu:Math. Tức là:

1. Bản mẫu:Math chứa phần tử đơn vị của Bản mẫu:Math, bởi vì phần tử đơn vị giao hoán với mọi phần tử Bản mẫu:Math, theo định nghĩa: Bản mẫu:Math, trong đó Bản mẫu:Math là đơn vị;
2. Nếu Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math thuộc Bản mẫu:Math, thì Bản mẫu:Math cũng vậy, do tính kết hợp: Bản mẫu:Math với mọi Bản mẫu:Math; tức là Bản mẫu:Math đóng dưới phép toán nhóm;
3. Nếu Bản mẫu:Math thuộc Bản mẫu:Math thì Bản mẫu:Math cũng thế Bản mẫu:Math.

Tính liên hợp

Xét ánh xạ sau, Bản mẫu:Math, từ Bản mẫu:Math tới nhóm tự đẳng cấu của Bản mẫu:Math định nghĩa bởi Bản mẫu:Math, và Bản mẫu:Math là tự đẳng cấu của Bản mẫu:Math định nghĩa bởi:

Bản mẫu:Math.

Hàm Bản mẫu:Math là một đồng cấu nhóm, và nhân của nó là tâm của Bản mẫu:Math, còn ảnh của nó được gọi là nhóm tự đẳng cấu trong của Bản mẫu:Math, ký hiệu là Bản mẫu:Math. Theo định lý đẳng cấu đầu tiên ta có,

Bản mẫu:Math.

Cokernel (Đối nhân) của ánh xạ này là nhóm Bản mẫu:Math chứa các tự đẳng cấu ngoài, và chúng tạo thành chuỗi chínhBản mẫu:Cần dẫn nguồn

Bản mẫu:Math.

Ví dụ

• Tâm của nhóm Abel, Bản mẫu:Math, là toàn bộ nhóm Bản mẫu:Math.
• Tâm của nhóm Heisenberg Bản mẫu:Math, là tập các ma trận dưới dạng: $$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& z\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$
• Tâm của nhóm đơn phi abel là nhóm tầm thường (nhóm bao gồm duy nhất một phần tử là phần tử đơn vị).
• Tâm của nhóm nhị diện, Bản mẫu:Math, tầm thường với mọi số nguyên lẻ Bản mẫu:Math. Đối với các số nguyên chẵn Bản mẫu:Math, Tâm bao gồm phần tử đơn vị cùng với phép quay 180° của hình.
• Tâm của nhóm Quarternion, Bản mẫu:Math, là tập Bản mẫu:Math.
• Tâm của nhóm đối xứng (lý thuyết nhóm), Bản mẫu:Math, tầm thường với Bản mẫu:Math.
• Tâm của nhóm thay phiên, Bản mẫu:Math, tầm thường với Bản mẫu:Math.

Tham khảo

• Bản mẫu:Chú thích sách
• Lathsamivong Kikeo (2011), Tâm và nhóm con giao hoán tử của một số lớp nhóm, Luận văn thạc sĩ toán học