Tô pô phần bù hữu hạn

Bản mẫu:Cần biên tập Bản mẫu:Chú thích trong bài Tô pô phần bù hữu hạn là tô pô có thể định nghĩa trên mỗi tập $X$. Nó bao gồm tập rỗng và các tập mở là các tập con của $X$ có phần bù là hữu hạn. Do đó, trong tô pô phần bù hữu hạn, chỉ những tập đóng hoặc $X$ là hữu hạn. Rõ ràng hơn, ta có thể viết tô pô phần bù hữu hạn như sau:

$𝒯=\{A\subseteq X\mid A=\varnothing \text{ hoặc }X\setminus A\text{ hữu hạn}\}$

Tính chất

Mọi tập con $A$ của không gian tô pô $X$ với tô pô phần bù hữu hạn là compact.

Chứng minh.

Giả sử $\{U_i:i\in I\}$ là một phủ mở của $A$. Khi đó

$A=\bigcup _{i\in I}{U}_i$

nên

$X\setminus A=\bigcap _{i\in I}X\setminus U_i$

Vì mỗi $X\setminus U_i$ là hữu hạn nên $\bigcap _{i\in I}X\setminus U_i$ cũng hữu hạn. Do đó ta có thể chọn ra hữu hạn tập $X\setminus U_i$ ($i\in J$ với $J\subset I$ và $|J|<\mathrm{\infty }$) sao cho

$X\setminus A=\bigcap _{i\in J}X\setminus U_i$

Do đó

$A=\bigcup _{i\in J}{U}_i$

Vậy $A$ compact.

Hệ quả

Một không gian tô-pô phần bù hữu hạn là một không gian compact.

Tham khảo

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 050744