Thương số Fermat

Trong Số học, thương số Fermat của số nguyên a ≥ 2 ứng với hệ số nguyên tố p được định nghĩa bởi công thức:

$q_p(a)=\frac{a^{p-1}-1}{p}$

Nếu a nguyên tố cùng nhau với p thì theo Định lý nhỏ Fermat, q_p(a) là số nguyên.

Tính chất

Nếu a và b là các số nguyên thỏa mãn (a,p)=(b,p)=1 thì:

$q_p(ab)\equiv q_p(a)+q_p(b)modp$

$q_p(p-1)\equiv 1modp$

$q_p(p+1)\equiv -1modp$

$-2q_p(2)\equiv \sum _{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\frac{1}{k}modp$

Nếu q_p(a) = 0 mod p thì a^p-1 = 1 mod p². Những số nguyên tố thỏa mãn q_p(2) = 0 mod p được gọi là số nguyên tố Wieferichs. Những nghiệm đã biết của phương trình đồng dư q_p(a) = 0 mod p với những giá trị nhỏ của a là:

a	p	Dãy OEIS
2	1093, 3511	Bản mẫu:OEIS2C
3	11, 1006003	Bản mẫu:OEIS2C
5	2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801	Bản mẫu:OEIS2C
7	5, 491531	Bản mẫu:OEIS2C
11	71
13	2, 863, 1747591	Bản mẫu:OEIS2C
17	2, 3, 46021, 48947, 478225523351	Bản mẫu:OEIS2C
19	3, 7, 13, 43, 137, 63061489	Bản mẫu:OEIS2C
23	13, 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329	Bản mẫu:OEIS2C

Một cặp số nguyên tố (p,r) thỏa mãn q_p(r) = 0 mod p và q_r(p) = 0 mod r được gọi là cặp số Wieferich.

Liên kết ngoài

• fermatquotients and wieferich-primes (pdf-document)