Vành Euclid
Trong toán học, cụ thể hơn là trong đại số giao hoán, một vành Euclid là một miền nguyên cùng với một hàm Euclid cho phép thực hiện phép chia có dư.
Định nghĩa
Một vành Euclid là một vành R cùng với một hàm f (được gọi là hàm Euclid) xác định trên R\{0} vào tập các số nguyên không âm thỏa mãn hai điều kiện sau
- (E1) Nếu Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar thuộc Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar khác không, thì tồn tại Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar trong Bản mẫu:Mvar sao cho Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Math hoặc Bản mẫu:Math.
- (E2) Với mọi cặp Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar khác 0 trong Bản mẫu:Mvar, Bản mẫu:Math.[1]
Tuy nhiên, người ta có thể chỉ ra rằng (E1) là đủ để xác định vành Euclid, vì bất kỳ miền Bản mẫu:Mvar nào cùng với một hàm Bản mẫu:Mvar thỏa mãn (E1) cũng có thể được trang bị một hàm Bản mẫu:Mvar thỏa mãn (E1) và (E2). Thật vậy, với Bản mẫu:Math }, ta định nghĩa Bản mẫu:Math như sau:[2]
Từ đó, ta có thể thực hiện phép chia. q được gọi là thương và r được gọi là số dư. Lưu ý rằng một vành có thể có nhiều hàm Euclid; và một hàm Euclid có thể cho nhiều kết quả thương và số dư khả dĩ.
Hàm được gắn với vành Euclid còn được gọi là hàm bậc, hàm định chuẩn, chuẩn, định chuẩn, bậc, hàm gauge,...
Ví dụ
Ví dụ về các vành Euclid bao gồm:
- Mọi trường đều là vành Euclid. Xác định Bản mẫu:Math cho tất cả các số Bản mẫu:Mvar khác không.
- Bản mẫu:Math, vành các số nguyên. Xác định Bản mẫu:Math, giá trị tuyệt đối của Bản mẫu:Mvar.[3]
- Bản mẫu:Math, vành các số nguyên Gauss. Xác định Bản mẫu:Math, chuẩn của số nguyên Gauss Bản mẫu:Math.
Ghi chú
Xem thêm
Tham khảo
- John B. Fraleigh, Victor J. Katz. Một khóa học đầu tiên trong đại số trừu tượng. Công ty xuất bản Addison-Wesley. 5 ed., 1967. Bản mẫu:ISBN Mã số 0-201-53467-3
- Nguyễn Thị Như Quỳnh, 2017, Vành chính, vành Euclid và ứng dụng, Khóa luận tốt nghiệp đại học
- Pierre Samuel, "Giới thiệu về các vành Euclide", Tạp chí Đại số 19 (1971) 282-301.