Giai thừa nguyên tố

Với n ≥ 2, giai thừa nguyên tố (tiếng Anh: primorial) (ký hiệu n#) là tích của tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng n. Chẳng hạn, 7# = 210 là tích các số nguyên tố (2·3·5·7). Tên này đặt theo Harvey Dubner và là từ ghép của prime và factorial.

Dãy các giai thừa nguyên tố đầu tiên là:

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410 (theo OEIS).

Định nghĩa cho các số nguyên tố

p_n# là một hàm của n, các điểm đã logarit hóa.

Đối với số nguyên tố tứ Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Mvar, primorial Bản mẫu:Math được định nghĩa là tích của Bản mẫu:Mvar số nguyên tố đầu tiên:

$p_n\mathrm{\#}=\prod _{k=1}^n{p}_k$,

trong đó Bản mẫu:Mvar là số nguyên tố thứ Bản mẫu:Mvar. Để lấy ví dụ, Bản mẫu:Math là tích của 5 số nguyên tố đầu tiên:

$p_5\mathrm{\#}=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.$

5 primorial Bản mẫu:Math đầu tiên là:

2, 6, 30, 210, 2310 Bản mẫu:OEIS.

Dãy cũng bao gồm Bản mẫu:Math là tích rỗng. Theo tiệm cận thì, các primorial Bản mẫu:Math lớn ngang với:

$p_n\mathrm{\#}=e^{(1+o(1))n\log n},$

trong đó Bản mẫu:Math là ký hiệu o nhỏ.

Định nghĩa cho các số tự nhiên

So hàm n# (các điểm màu đỏ) với hàm n!. Cả hai hàm đều đã được logarit hóa.

Đối với số tự nhiên Bản mẫu:Mvar, primorial của n, Bản mẫu:Math, là tích của các số nguyên tố không lớn hơn Bản mẫu:Mvar; nghĩa là,

$n\mathrm{\#}=\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{p\le n}{p\text{ prime}}}p=\prod _{i=1}^{\pi (n)}{p}_i=p_{\pi (n)}\mathrm{\#}$,

trong đó Bản mẫu:Math là hàm đếm số nguyên tố Bản mẫu:OEIS, hàm đếm các số nguyên tố Bản mẫu:Mvar ≤ Bản mẫu:Mvar. Định nghĩa này tương đương với:

$n\mathrm{\#}=\{\begin{array}{cc}1& \text{nếu }n=0,1\\ (n-1)\mathrm{\#}\times n& \text{nếu }n\text{ là số nguyên tố}\\ (n-1)\mathrm{\#}& \text{nếu }n\text{ là hợp số}.\end{array}$

Để lấy ví dụ, 12# là tích của các số nguyên tố p ≤ 12:

$12\mathrm{\#}=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.$

Bởi Bản mẫu:Math, ta cũng có thể tính như sau:

$12\mathrm{\#}=p_{\pi (12)}\mathrm{\#}=p_5\mathrm{\#}=2310.$

12 giá trị đầu tiên của Bản mẫu:Math là :

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Tính chất và ứng dụng

Ý tưởng lấy tích của tất cả các số nguyên tố nằm trong chứng minh số các số nguyên tố là vô hạn; nó được sử dụng để mâu thuẫn khi giả thiết rằng số các số nguyên tố là hữu hạn.

Các Primorial đóng vai trò quan trọng trong việc tìm các số nguyên tố trong cấp số cộng. Chẳng hạn, 2236133941 + 23# là một số nguyên tố, khởi đầu dãy 13 số nguyên tố bằng cách cộng thêm 23#, và kết thúc với 5136341251. Số 23# chính là công bội của các cấp số cộng gồm mười lăm và mười sáu số nguyên tố.

Mọi siêu hợp số có thể viết thành tích của các giai thừa nguyên tố (ví dụ như 360 = 2·6·30).

Bảng các giai thừa nguyên tố

Bản mẫu:Mvar	Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Mvar	Bản mẫu:Math	Là số nguyên tố Primorial?
				pn# + 1	pn# − 1
0	1	Bản mẫu:N/a	1	Bản mẫu:Yes	Bản mẫu:No
1	1	2	2	Bản mẫu:Yes	Bản mẫu:No
2	2	3	6	Bản mẫu:Yes	Bản mẫu:Yes
3	6	5	30	Bản mẫu:Yes	Bản mẫu:Yes
4	6	7	210	Bản mẫu:Yes	Bản mẫu:No
5	30	11	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:Yes	Bản mẫu:Yes
6	30	13	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:Yes
7	210	17	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
8	210	19	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
9	210	23	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
10	210	29	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
11	Bản mẫu:Val	31	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:Yes	Bản mẫu:No
12	Bản mẫu:Val	37	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
13	Bản mẫu:Val	41	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:Yes
14	Bản mẫu:Val	43	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
15	Bản mẫu:Val	47	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
16	Bản mẫu:Val	53	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
17	Bản mẫu:Val	59	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
18	Bản mẫu:Val	61	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
19	Bản mẫu:Val	67	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
20	Bản mẫu:Val	71	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
21	Bản mẫu:Val	73	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
22	Bản mẫu:Val	79	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
23	Bản mẫu:Val	83	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
24	Bản mẫu:Val	89	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:Yes
25	Bản mẫu:Val	97	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
26	Bản mẫu:Val	101	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
27	Bản mẫu:Val	103	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
28	Bản mẫu:Val	107	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
29	Bản mẫu:Val	109	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
30	Bản mẫu:Val	113	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
31	Bản mẫu:Val	127	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
32	Bản mẫu:Val	131	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
33	Bản mẫu:Val	137	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
34	Bản mẫu:Val	139	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
35	Bản mẫu:Val	149	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
36	Bản mẫu:Val	151	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
37	Bản mẫu:Val	157	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
38	Bản mẫu:Val	163	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
39	Bản mẫu:Val	167	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No
40	Bản mẫu:Val	173	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:No	Bản mẫu:No

Xem thêm

• Bất đẳng thức Bonse
• Số nguyên tố Primorial

Tham khảo

• Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.

Liên kết

• Bản mẫu:Mathworld