Đường cong bậc ba

Một số đường cong bậc 3. Nhấn vào ảnh để xem rõ hơn

Trong toán học, đường cong bậc 3 là đường cong đại số Bản mẫu:Mvar định nghĩa bởi hàm số bậc ba

Bản mẫu:Tmath

áp dụng với hệ tọa độ đồng nhất Bản mẫu:Tmath cho mặt phẳng xạ ảnh; hoặc hệ tọa độ không đồng nhất với không gian afin bằng cách đặt Bản mẫu:Math. Ở đây, Bản mẫu:Mvar là tổ hợp tuyến tính khác không của các đơn thức

Bản mẫu:Tmath

Có 10 phần tử để ghép tổ hợp từ, do đó các đường con bậc ba tạo thành không gian xạ ảnh với chiều bằng 9 trên bất cứ trường Bản mẫu:Mvar. Mỗi điểm Bản mẫu:Mvar là một điều kiện tuyến tính trên Bản mẫu:Mvar khi ta cần xét xem Bản mẫu:Mvar có qua Bản mẫu:Mvar không. Do đó, ta có thể tìm đường cong bậc ba qua 9 điểm tùy ý nhưng đường cong đó có thể không phải duy nhất hoặc bị suy biến, nhưng độc nhất và không suy biến khi các điểm là các điểm thường;

Đường cong bậc ba kỳ dị Bản mẫu:Math. Tham số được cho bởi Bản mẫu:Math.

Đường cong bậc ba có thể có điểm kỳ dị, trong trường hợp đó nó có tham số nằm trong đường xạ ảnh. Nếu không thì đường cong bậc ba không kỳ dị thường có 9 điểm uốn trên các trường đóng đại số ví dụ như trường số phức. Ta có thể chứng minh bằng xét phiên bản đồng nhất của ma trận Hesse rồi giao nó với Bản mẫu:Mvar và tính số giao điểm bằng định lý Bézout. Tuy nhiên, chỉ có 3 điểm có thể thực và số còn lại thì không thể thấy được trong mặt phảng xạ ảnh thực bằng việc vẽ đường cong. Chín điểm uốn của đường cong bậc ba không kỳ dị còn có tính chất mỗi đường qua hai trong số những điểm đó chứa chính xác ba điểm uốn.

Các đường thực của đường cong bậc ba được nghên cứu bởi Isaac Newton. Các điểm thực của đường cong bậc ba thường nằm trong 1 hoặc 2 'oval'. Một trong số đường oval này cắt qua mọi đường xạ ảnh thực, do đó không bao giờ bị chặn khi đường cong được vẽ trong mặt phẳng Euclid;

Đường cong bậc ba trong mặt phẳng tam giác

Xét tam giác ABC với các cạnh Bản mẫu:Nowrap, Bản mẫu:Nowrap, Bản mẫu:Nowrap. Liên quan tới ABC, nhiều đường cong đi qua các điểm nổi bật. Các ví dụ dưới sử dụng hai hệ tọa đô đồng nhất: tam tuyến tính và tọa độ tỉ cự.

Để đổi từ hệ tam tuyến tính sang hệ tọa độ cực tỉ trong hàm số bậc ba, ta thay như sau:

x ↦ bcx, y ↦ cay, z ↦ abz;

Để đổi từ hệ tọa độ cực tỉ sang tam tuyến tính, thì dùng

x ↦ ax, y ↦ by, z ↦ cz.

Các đường cong bên dưới định nghĩa bằng cách dùng liên hợp đẳng giác, ký hiệu bằng điểm X* của điểm X không nằm trên cạnh của ABC. Cách xây X* thực hiện như sau. Gọi L_A là phản xạ của XA bởi đường phân giác của góc A, rồi định nghĩa L_B và L_C tương tự như vậy. 3 đường đó đồng quy tại X*. Trong hệ tọa độ tam tuyến tính, nếu X = x:y:z, thì X* = Bản mẫu:Sfrac:Bản mẫu:Sfrac:Bản mẫu:Sfrac.

Đường cong Neuberg

Đường cong Neuberg của tam giác ABC: Quỹ tích của X sao cho nếu $X_A,X_B,X_C$ là phản xạ của A, B, C qua các đường BC, CA, AB thì các đường $A{X}_A,B{X}_B,C{X}_C$ đồng quy

Phương trình tam tuyến tính: $\sum _{cyclic}(\cos A-\cos B\cos C)x(y^2-z^2)=0$

Phương trình tọa độ tỉ cự: $\sum _{cyclic}(2a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2{)}^2-3a^4)x(c^2{y}^2-b^2{x}^2)=0$

Đường cong bậc ba Neuberg (được đặt theo tên Joseph Jean Baptiste Neuberg) là quỹ tích của điểm X sao cho X* nằm trên đường EX, với E là điểm vô cực của đường Euler (X(30) trong Bách khoa toàn thư về các tâm của tam giác).

Đường cong Thomson

Ví dụ của đường cong Thomson (đường đen). X nằm trên đường con sao cho liên hợp đẳng giác của X (X′) nằm trên đường X(2) – X.

Phương trình tam tuyến tính : $\sum _{cyclic}bcx(y^2-z^2)=0$

Phương trình tọa độ tỉ cự: $\sum _{cyclic}x(c^2{y}^2-b^2{z}^2)=0$

Đường cong Thomson là quỹ tích của điểm X sao cho X* nằm trên đường GX, với G là trọng tâm.

Đường cong Thomson đi qua các điểm sau: tâm đường tròn nội tiếp, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, điểm đối trung, 3 điểm A, B, C, một số tâm trong và ngoài tam giác, trung điểm BC, CA, AB, và trung điểm của các đường cao của ABC.

Xem thêm

• Định lý Cayley–Bacharach trên giao của hai đường cong bậc 3
• Đường lập phương xoắn
• Đường cong Elliptic

Tham khảo

• Bản mẫu:Citation.
• Bản mẫu:Citation.
• Bản mẫu:Citation.
• Bản mẫu:Citation.
• Bản mẫu:Citation.
• Bản mẫu:Citation.
• Bản mẫu:Citation.
• Bản mẫu:Citation.
• Bản mẫu:Citation.
• Bản mẫu:Citation. See Chapter 8 for cubics.
• Bản mẫu:Citation.
• Bản mẫu:Citation.
• Bản mẫu:Citation.
• Bản mẫu:Citation.

Liên kết ngoài

• A Catalog of Cubic Plane Curves (archived version)
• Points on Cubics
• Cubics in the Triangle Plane
• Special Isocubics in the Triangle Plane (pdf), by Jean-Pierre Ehrmann and Bernard Gibert