Định lý Ceva

Từ testwiki
Bước tới điều hướng Bước tới tìm kiếm

Định lý Ceva[1] là một định lý phổ biến trong hình học cơ bản. Cho một tam giác ABC, các điểm D, E, và F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, và AB. Định lý phát biểu rằng các đường thẳng AD, BE và CF là những đường thẳng đồng quy khi và chỉ khi:

AFFB⋅BDDC⋅CEEA=1

Ngoài ra, định lý Ceva còn được phát biểu một cách tương đương trong lượng giác rằng: AD,BE,CF đồng quy khi và chỉ khi

sin⁡∠BADsin⁡∠CAD×sin⁡∠ACFsin⁡∠BCF×sin⁡∠CBEsin⁡∠ABE=1

.

Định lý Ceva

Một đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác gọi là đường thẳng Cevian ứng với đỉnh đó.Một trong hình vẽ tam giác

DEF

là một tam giác Cevian của tam giác ABC.

Chứng minh

Giả sử ta có: AD, BE và CF đồng quy tại một điểm O nào đó (trong hay ngoài tam giác). Do △BOD và △COD có chung chiều cao (độ dài của đường cao), ta có: |△BOD||△COD|=BDDC. Tương tự, |△BAD||△CAD|=BDDC.

Ta suy ra BDDC=|△BAD|−|△BOD||△CAD|−|△COD|=|△ABO||△CAO|(1).

Tương tự,CEEA=|△BCO||△ABO|(2), AFFB=|△CAO||△BCO|(3).

Nhân (1),(2),(3) vế theo vế,ta được:AFFB⋅BDDC⋅CEEA=1. Ta có điều phải chứng minh.

Ngược lại, giả sử rằng ta đã có những điểm D, E và F thỏa mãn đẳng thức. Gọi giao điểm của AD và BE là O, và gọi giao điểm của CO và AB là F′. Theo chứng minh trên, AF′F′B⋅BDDC⋅CEEA=1.

Kết hợp với đẳng thức trên, ta nhận được: AF′F′B=AFFB.

⇒AF′+F′BF′B=AF+FBFB⇔ABF′B=ABFB.

Do đó F′B=FB, nên F và F′ trùng nhau. Vì vậy AD, BE và CF đồng quy tại O, và định lý đã được chứng minh (là đúng theo cả hai chiều).

Tham khảo thêm

Tham khảo

Bản mẫu:Tham khảo

  1. ↑ Định lý mang tên nhà toán học người Italia là Giovanni Ceva (1647 - 1734), người tìm ra định lý này vào năm 1698
Lấy từ “https://vi.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Định_lý_Ceva&oldid=711”