Định lý Menelaus

Định lý Menelaus

Định lý Menelaus là một định lý nâng cao trong hình học tam giác, được phát biểu như sau: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi

$\frac{\overline{FA}}{\overline{FB}}\cdot \frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}\cdot \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}}=1$

Chứng minh

*Phần thuận: Giả sử D, E, F là 3 điểm thẳng hàng với nhau. Vẽ đường thẳng qua C và song song với AB cắt đường thẳng DE tại G.
Vì $CG\parallel AB$ (c.dựng) nên theo định lý Ta-lét, ta có:
$\frac{DB}{DC}=\frac{FB}{CG}$ $(1)$và $\frac{EC}{EA}=\frac{CG}{FA}$ $(2)$
Nhân $(1)$ và $(2)$ và vế theo vế
$\frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA}=\frac{FB}{FA}$
Từ đó suy ra
$\frac{FA}{FB}\cdot \frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA}=1$
*Phần đảo: Giả sử $\frac{FA}{FB}\cdot \frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA}=1$. Khi đó gọi F' là giao của đường thẳng ED với đường thẳng AB.
Theo chứng minh ở trên, ta có $\frac{F^{\prime }A}{F^{\prime }B}\cdot \frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA}=1$
Kết hợp giả thiết => $\frac{FA}{FB}=\frac{F^{\prime }A}{F^{\prime }B}$
Hay $\frac{FA}{F^{\prime }A}=\frac{FB}{F^{\prime }B}=\frac{FA+FB}{F^{\prime }A+F^{\prime }B}=\frac{AB}{AB}=1$
Nên $F^{\prime }A=FA$ và $F^{\prime }B=FB$
=> $F^{\prime }$ trùng với $F$.
Vậy định lý đã được chứng minh.

Xem thêm

• Định lý Carnot
• Định lý Ceva

Tham khảo

• Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. "Menelaus's Theorem." §3.4 in Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 66–67, 1967.
• Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 122, 1987.
• Graustein, W. C. Introduction to Higher Geometry. New York: Macmillan, p. 81, 1930.
• Grünbaum, B. and Shepard, G. C. "Ceva, Menelaus, and the Area Principle." Math. Mag. 68, 254-268, 1995.
• Honsberger, R. "The Theorem of Menelaus." Ch. 13 in Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 147–154, 1995.
• Durell, C. V. Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, pp. 42–44, 1928.
• Graustein, W. C. Introduction to Higher Geometry. New York: Macmillan, p. 81, 1930.
• Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, p. 150, 1991.