1 − 2 + 3 − 4 + ⋯

Từ testwiki
Bước tới điều hướng Bước tới tìm kiếm

Bản mẫu:Chú thích trong bài

15.000 số hạng đầu tiên từ 0 + 1 - 2 + 3 - 4 +.... Trên hình, số nguyên dương được sắp xếp bên phải, số nguyên âm ở bên trái.

Trong toán học, 1 − 2 + 3 − 4 + ··· là một chuỗi vô hạn với các số hạng là những số nguyên dương liền tiếp và đan dấu với nhau. Sử dụng ký hiệu tổng sigma để biểu diễn tổng của m số hạng đầu tiên của chuỗi này:

∑n=1mn(−1)n−1.

Chuỗi vô hạn này phân kỳ, nghĩa là dãy các tổng hữu hạn của chuỗi số, Bản mẫu:Nowrap, không hội tụ về một giới hạn. Tuy nhiên, vào giữa thế kỷ thứ 18, Leonhard Euler đã đưa ra một phương trình nghịch lý:

1−2+3−4+⋯=14.

Cho đến mãi sau này mới có một lời giải chính xác về phương trình này.

Chuỗi Bản mẫu:Nowrap có quan hệ gần gũi với chuỗi Grandi: Bản mẫu:Nowrap Euler đã coi hai chuỗi này là các trường hợp đặc biệt của chuỗi Bản mẫu:Nowrap với mọi n.

Sự phân kỳ

Các số hạng của tổng (1, −2, 3, −4,...) không tiếp cận số 0, vậy nên Bản mẫu:Nowrap là một chuỗi phân kỳ. Có thể chỉ ra sự phân kỳ trên một mức độ cơ bản. Theo định nghĩa, một chuỗi vô hạn hội tụ hay phân kỳ phụ thuộc vào dãy các tổng riêng của nó hội tụ hay phân kỳ. Các tổng riêng của Bản mẫu:Nowrap là:[1]

1 = 1;
1 − 2 = −1;
1 − 2 + 3 = 2;
1 − 2 + 3 − 4 = −2;
1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3;
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3;
...

Dãy số này rất đáng ghi nhận vì mỗi số nguyên chỉ xuất hiện một lần—kể cả 0 nếu tính luôn tổng riêng rỗng—và qua đó củng cố ý tưởng rằng tập hợp ℤ các số nguyên đếm được.[2] Dãy các tổng riêng rõ ràng cho thấy chuỗi không hội tụ vào một số cụ thể nào đó, nên Bản mẫu:Nowrap phân kỳ.

Heuristic cho phép lấy tổng

Tính ổn định và sự tuyến tính

Vì các số hạng 1, −2, 3, −4, 5, −6,... tuân theo một quy luật đơn giản, chuỗi Bản mẫu:Nowrap có thể được lợi dụng bằng cách chuyển chỗ và cộng từng số hạng để có thể cho ra kết quả là một con số. Nếu có thể viết Bản mẫu:Nowrap với một con số s bình thường, những bước sau củng cố ý tưởng rằng Bản mẫu:Nowrap[3]

4s=(1−2+3−4+⋯)+(1−2+3−4+⋯)+(1−2+3−4+⋯)+(1−2+3−4+⋯)=(1−2+3−4+⋯)+1+(−2+3−4+5+⋯)+1+(−2+3−4+5+⋯)+(1−2)+(3−4+5−6⋯)=(1−2+3−4+⋯)+1+(−2+3−4+5+⋯)+1+(−2+3−4+5+⋯)−1+(3−4+5−6⋯)=1+(1−2+3−4+⋯)+(−2+3−4+5+⋯)+(−2+3−4+5+⋯)+(3−4+5−6⋯)=1+[(1−2−2+3)+(−2+3+3−4)+(3−4−4+5)+(−4+5+5−6)+⋯]=1+[0+0+0+0+⋯]4s=1
Cộng 4 lần Bản mẫu:Nowrap using only shifts and term-by-term addition, cho ra kết quả bằng 1

Vậy s=14.

Xem thêm

Chú thích

Bản mẫu:Tham khảo

Tham khảo

Bản mẫu:Chuỗi (toán học) Bản mẫu:Sơ khai toán học

  1. ↑ Hardy tr.8
  2. ↑ Beals tr.23
  3. ↑ Hardy (tr.6) trình bày điều này qua sự giao hợp với việc tính kết quả chuỗi Grandi Bản mẫu:Nowrap.
Lấy từ “https://vi.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=1_−_2_%2B_3_−_4_%2B_⋯&oldid=1837”