Bất đẳng thức Hermite–Hadamard

Trong toán học, bất đẳng thức Hermite–Hadamard, được đặt theo tên của Charles Hermite và Jacques Hadamard, phát biểu rằng nếu hàm ƒ : [a, b] → R là hàm lồi thì

$f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \frac{f(a)+f(b)}{2}.$

Bất đẳng thức này được khái quát hóa cho không gian nhiều chiều: nếu tập xác định $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ là tập lồi, đóng và $f:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ là hàm lồi dương, thì

$\frac{1}{|\mathrm{\Omega }|}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)dx\le \frac{c_n}{|\partial \mathrm{\Omega }|}\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }f(y)d\sigma (y)$

với $c_n$ là một hằng số chỉ phụ thuộc vào số chiều của không gian.

Tham khảo

• Jacques Hadamard, "Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d'une fonction considérée par Riemann", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, tập 58, 1893, trang 171–215.
• Zoltán Retkes, "An extension of the Hermite–Hadamard Inequality", Acta Sci. Math. (Szeged), 74 (2008), trang 95–106.
• Mihály Bessenyei, "The Hermite–Hadamard Inequality on Simplices", American Mathematical Monthly, tập 115, tháng 4 năm 2008, trang 339–345. Bản mẫu:JSTOR
• Flavia-Corina Mitroi, Eleutherius Symeonidis, "The converse of the Hermite-Hadamard inequality on simplices", Expo. Math. 30 (2012), tr. 389–396. Bản mẫu:DOI; Bản mẫu:ISSN
• Stefan Steinerberger, "The Hermite-Hadamard Inequality in Higher Dimensions", The Journal of Geometric Analysis, tập 30, tháng 1 năm 2020, trang 466–483. Bản mẫu:DOI