Bất đẳng thức Karamata
Trong toán học, bất đẳng thức Karamata[1] (tiếng Anh: Karamata's inequality[2]), được đặt tên của nhà toán học Jovan Karamata, còn được biết tới là bất đẳng thức bộ trội là một định lý trong đại số sơ cấp về hàm số lồi và lõm xét trên tập số thực. Bất đẳng thức Karamata là trường hợp tổng quát hơn của bất đẳng thức Jensen và được khái quát thành hàm số lồi Schur.
Phát biểu
Cho tập Bản mẫu:Math là một khoảng trên trục số thực và Bản mẫu:Math là lồi trên tập Bản mẫu:Math. Nếu Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math là các số trong tập Bản mẫu:Math nhưng Bản mẫu:Math trội hơn Bản mẫu:Math, thì
Ở đây, trội hơn có nghĩa rằng
và, sau khi gắn nhãn lại các con số trong tập Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math, lần lượt theo thứ tự giảm dần,
chúng ta có
Nếu Bản mẫu:Math là một hàm lồi thực sự thì bất đẳng thức (Bản mẫu:EquationNote) sẽ nhận dấu bằng khi và chỉ khi việc gắn nhãn lại theo (Bản mẫu:EquationNote), chúng ta có Bản mẫu:Math cho tất cả Bản mẫu:Math}.