Giải tam giác

Giải tam giác (Bản mẫu:Lang-la) là bài toán lượng giác tập trung vào việc tìm ra các yếu tố (nghiệm) của một tam giác (góc và độ dài cạnh), khi chưa biết một số yếu tố của tam giác đó. Tam giác có thể nằm trên một mặt phẳng hoặc một mặt cầu. Giải tam giác được ứng dụng trong trắc địa, thiên văn học, xây dựng và điều hướng.

Giải tam giác phẳng

Bản mẫu:Center

Một tam giác ở dạng thông thường có sáu đặc tính (xem hình bên): ba cạnh (độ dài Bản mẫu:Math) và ba góc (Bản mẫu:Math). Bài toán lượng giác mặt phẳng cổ điển yêu cầu từ ba đặc tính cho trước, hãy tìm ra ba đặc tính còn lại. Một tam giác có thể được xác định một cách duy nhất theo định nghĩa này khi rơi vào một trong các trường hợp sau:

• Ba cạnh (CCC)
• Hai cạnh và một góc xen giữa (CGC, cạnh-góc-cạnh)
• Hai cạnh và một góc không xen giữa (CCG), nếu cạnh kề với góc đó ngắn hơn cạnh kia.
• Một cạnh và hai góc kề cạnh đó (GCG)
• Một cạnh, góc đối và một góc kề cạnh đó (GGC).

Đối với tất cả trường hợp trong mặt phẳng, phải có ít nhất một độ dài cạnh được cho trước. Nếu chỉ có các góc được cho trước, không thể tìm ra các độ dài cạnh được bởi vì khi đó, mọi tam giác đồng dạng đều là nghiệm.

Hệ thức lượng

Tổng quan về các bước và cộng cụ cụ thể được dùng để giải tam giác mặt phẳng

Cách giải tiêu chuẩn cho bài toán này là sử dụng các hệ thức lượng sau:

Định lý cosin

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

Định lý sin

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$

Tổng ba góc của một tam giác

$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$

Định lý tan

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan [\frac{1}{2}(\alpha -\beta )]}{\tan [\frac{1}{2}(\alpha +\beta )]}.$

Ngoài các hệ thức trên, còn có những quan hệ phổ quát khác có thể hữu ích, như định lý cotang và công thức Mollweide.

Lưu ý

Để tìm một góc chưa biết, định lí cosin an toàn hơn định lý sin. Lí do là vì giá trị sin của góc đó không phải lúc nào cũng giúp xác định được góc. Ví dụ, nếu Bản mẫu:Math thì góc Bản mẫu:Math có thể bằng 30° hoặc 150°. Sử dụng định lý cosin sẽ tránh được vấn đề này: trong khoảng từ 0° đến 180° giá trị cos sẽ luôn xác định được góc của nó một cách rõ ràng. Mặt khác, đối với góc nhỏ (hoặc gần bằng 180°) thì xác định góc từ sin của nó sẽ thiết thực hơn về mặt số học so với xác định góc từ cosin bởi vì hàm cos ngược (arccos) có đạo hàm phân kì tại 1 (hoặc −1).

Ba cạnh (CCC)

Bản mẫu:Center

Cho ba cạnh với độ dài lần lượt là Bản mẫu:Math. Để tim các góc Bản mẫu:Math, sử dụng định lý cosin:

$\begin{array}{cc}\alpha & =\arccos \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\ \beta & =\arccos \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}.\end{array}$

Khi đó góc Bản mẫu:Math.

Một số tài liệu khuyên rằng nên tìm góc Bản mẫu:Math bằng định lý sin. Tuy nhiên (như đã viết ở Lưu ý 1), sẽ có rủi ro nhầm lẫn giữa giá trị của góc nhọn và góc tù.

Một phương pháp khác để tính các góc từ các cạnh đã biết là áp dụng định lý cotang.

Hai cạnh và góc xen giữa (CGC)

Bản mẫu:Center

Ở đây, độ dài cạnh Bản mẫu:Math và góc Bản mẫu:Math giữa hai cạnh được biết trước. Cạnh thứ ba có thể được xác định bằng định lý cosin:

$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos \gamma }.$

Bây giờ định lý cosin có thể được dùng để tìm góc thứ hai:

$\alpha =\arccos \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.$

Cuối cùng, Bản mẫu:Math.

Hai cạnh và một góc không xen giữa (CCG)

Bản mẫu:Center

Bản mẫu:Center

Trường hợp này chỉ có thể giải được một cách duy nhất khi độ dài của cạnh kề với góc đó ngắn hơn cạnh không kề với góc đó; nếu không sẽ có hai trường hợp có thể xảy ra. Giả sử hai cạnh Bản mẫu:Math và góc Bản mẫu:Math được biết trước. Phương trình tìm góc Bản mẫu:Math có thể được suy ra từ định lý sin:

$\sin \gamma =\frac{c}{b}\sin \beta .$

Gọi Bản mẫu:Math (vế phải phương trình). Có bốn trường hợp có thể xảy ra:

1. Nếu Bản mẫu:Math, không tồn tại tam giác bởi vì cạnh Bản mẫu:Math không cắt đường Bản mẫu:Math. Cũng vì thế mà không giải được tam giác nếu góc Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math.
2. Nếu Bản mẫu:Math, tồn tại một nghiệm duy nhất: Bản mẫu:Math. Tam giác này là tam giác vuông.
3. Nếu Bản mẫu:Math, có hai khả năng có thể xảy ra.
   1. Nếu Bản mẫu:Math, thì Bản mẫu:Math (cạnh lớn hơn tương ứng với góc lớn hơn). Vì một tam giác không thể có hai góc tù, Bản mẫu:Math sẽ là góc nhọn và nghiệm Bản mẫu:Math là duy nhất.
   2. If Bản mẫu:Math, góc Bản mẫu:Math có thể nhọn với Bản mẫu:Math hoặc tù với Bản mẫu:Math. Hình bên cho thấy điểm Bản mẫu:Math, cạnh Bản mẫu:Math và góc Bản mẫu:Math là nghiệm thứ nhất; và điểm Bản mẫu:Math, cạnh Bản mẫu:Math và góc Bản mẫu:Math là nghiệm thứ hai.

Một khi tìm được Bản mẫu:Math, góc còn lại Bản mẫu:Math.

Có thể tìm cạnh thứ ba bằng định lý sin:

$a=b\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }$

hoặc từ định lý cosin:

$a=c\cos \beta \pm \sqrt{b^2-c^2{\sin }^2\beta }$

Một cạnh và hai góc kề (GCG)

Bản mẫu:Center

Các yếu tố được biết trước là cạnh Bản mẫu:Math và các góc Bản mẫu:Math. Góc thứ ba Bản mẫu:Math.

Hai cạnh chưa biết có thể được tính bằng định lý sin:

$a=c\frac{\sin \alpha }{\sin \gamma };b=c\frac{\sin \beta }{\sin \gamma }.$

hay

$a=c\frac{\sin \alpha }{\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }$

$b=c\frac{\sin \beta }{\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }$

Một cạnh, một góc kề và một góc đối (GGC)

Quy trình giải tam giác GGC cũng giống với giải tam giác GCG: Đầu tiên, tìm góc thứ ba bằng cách lấy 180° trừ đi hai góc đã biết; sau đó tìm hai cạnh còn lại bằng định lý sin.

Các độ dài khác

Trong nhiều trường hợp, tam giác có thể được giải nếu có trước ba yếu tố có thể gồm đường trung tuyến, đường cao và đường phân giác. Posamentier và Lehmann đã liệt kê các kết quả cho câu hỏi về khả năng giải được sử dụng không quá căn bậc hai (v.d. tính dựng hình) cho mỗi trong số 95 trường hợp riêng biệt; 63 trong số đó có thể dựng hình được.

Giải tam giác cầu

Bản mẫu:Center

Một tam giác cầu (spherical triangle) hoàn toàn được xác định bằng ba trong số sáu đặc điểm của nó (ba cạnh và ba góc). Độ dài của các cạnh Bản mẫu:Math của một tam giác cầu là các góc ở tâm tương ứng, nhưng được đo theo đơn vị góc thay vì đơn vị tuyến tính. (Trên một hình cầu đơn vị, góc (theo rađian) và độ dài là như nhau về mặt số học. Trên các hình cầu khác, góc (theo rađian) bằng độ dài trên mặt cầu chia cho bán kính.)

Hình học cầu không giống với hình học Euclid trên mặt phẳng, cho nên việc giải tam giác sẽ dựa trên những công thức khác nhau. Ví dụ, tổng của ba góc Bản mẫu:Math của một tam giác phụ thuộc vào kích cỡ của tam giác đó. Thêm vào đó, các tam giác đồng dạng không thể không bằng nhau, cho nên bài toán dựng một tam giác với ba góc cho trước sẽ chỉ có một lời giải duy nhất. Các quan hệ cơ bản dùng để giải bài toán này tương tự với việc giải tam giác phẳng: xem Định luật cos và Định luật sin trên mặt cầu.

Có nhiều công thức hữu ích, bao gồm công thức nửa bên (half-side formula) và đẳng thức Napier (Napier's analogies):

• $\tan \frac{c}{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}=\tan \frac{a+b}{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2}$
• $\tan \frac{c}{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}=\tan \frac{a-b}{2}\sin \frac{\alpha +\beta }{2}$
• $\cot \frac{\gamma }{2}\cos \frac{a-b}{2}=\tan \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{a+b}{2}$
• $\cot \frac{\gamma }{2}\sin \frac{a-b}{2}=\tan \frac{\alpha -\beta }{2}\sin \frac{a+b}{2}.$

Bản mẫu:Center

Ba cạnh (CCC cầu)

Cho trước các cạnh Bản mẫu:Math (theo đơn vị góc). Các góc của tam giác được tính theo định luật cos trên mặt cầu:

$\alpha =\arccos \left(\frac{\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}\right),$

$\beta =\arccos \left(\frac{\cos b-\cos c\cos a}{\sin c\sin a}\right),$

$\gamma =\arccos \left(\frac{\cos c-\cos a\cos b}{\sin a\sin b}\right).$

Bản mẫu:Center

Hai cạnh và một góc nằm trong (CGC cầu)

Cho trước hai cạnh Bản mẫu:Math và góc Bản mẫu:Math nằm giữa. Cạnh Bản mẫu:Math có thể được tính theo công thức cos mặt cầu:

$c=\arccos (\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma ).$

Các góc Bản mẫu:Math có thể được tính như trên, hoặc bằng cách sử dụng đẳng thức Napier:

$\alpha =\arctan \frac{2\sin a}{\tan (\frac{\gamma }{2})\sin (b+a)+\cot (\frac{\gamma }{2})\sin (b-a)},$

$\beta =\arctan \frac{2\sin b}{\tan (\frac{\gamma }{2})\sin (a+b)+\cot (\frac{\gamma }{2})\sin (a-b)}.$

Trong hàng hải, có một vấn đề nảy sinh trong bài toán tìm đường tròn lớn giữa hai điểm trên quả địa cầu khi biết trước kinh độ và vĩ độ của chúng. Trong trường hợp này, điều quan trọng là phải sử dụng công thức ít bị ảnh hưởng bởi lỗi làm tròn. Khi này, có thể sử dụng các công thức sau (có thể được suy ra thông qua đại số vectơ):

$\begin{array}{cc}c& =\arctan \frac{\sqrt{(\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma {)}^2+(\sin b\sin \gamma {)}^2}}{\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma },\\ \alpha & =\arctan \frac{\sin a\sin \gamma }{\sin b\cos a-\cos b\sin a\cos \gamma },\\ \beta & =\arctan \frac{\sin b\sin \gamma }{\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma },\end{array}$

với dấu của tử số và mẫu số trong các biểu thức trên có thể được dùng để xác định góc phần tư của arctan đó.

Bản mẫu:Center

Hai cạnh và một góc nằm ngoài (CCG cầu)

Bài toán này không giải được trong mọi trường hợp; một lời giải là duy nhất chỉ khi độ dài của cạnh kề với góc ngắn hơn độ dài cạnh còn lại. Cho trước hai cạnh Bản mẫu:Math và góc bên Bản mẫu:Math không nằm xen giữa. Tồn tại một nghiệm nếu thoả mãn những điều kiện sau:

$b>\arcsin (\sin c\sin \beta ).$

Góc Bản mẫu:Math có thể được tìm bằng công thức sin mặt cầu:

$\gamma =\arcsin \left(\frac{\sin c\sin \beta }{\sin b}\right).$

Trong trường hợp mặt phẳng, nếu Bản mẫu:Math thì có hai nghiệm: Bản mẫu:Math and Bản mẫu:Math.

Có thể tìm ra các yếu tố còn lại bằng đẳng thức Napier:

$\begin{array}{cc}a& =2\arctan [\tan (\frac{1}{2}(b-c))\frac{\sin (\frac{1}{2}(\beta +\gamma ))}{\sin (\frac{1}{2}(\beta -\gamma ))}],\\ \alpha & =2\mathrm{arccot}[\tan (\frac{1}{2}(\beta -\gamma ))\frac{\sin (\frac{1}{2}(b+c))}{\sin (\frac{1}{2}(b-c))}].\end{array}$

Bản mẫu:Center

Một cạnh và hai góc kề (GCG cầu)

Cho trước cạnh Bản mẫu:Math và hai góc Bản mẫu:Math. Đầu tiên, xác định góc Bản mẫu:Math bằng công thức cos mặt cầu:

$\gamma =\arccos (\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta ).$

Có thể tìm hai cạnh chưa biết từ công thức cos mặt cầu (góc Bản mẫu:Math đã được tính ở trên):

$a=\arccos \left(\frac{\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }\right),$

$b=\arccos \left(\frac{\cos \beta +\cos \alpha \cos \gamma }{\sin \alpha \sin \gamma }\right),$

hoặc bằng cách sử dụng đẳng thức Napier:

$\begin{array}{cc}a& =\arctan \left[\frac{2\sin \alpha }{\cot (\frac{c}{2})\sin (\beta +\alpha )+\tan (\frac{c}{2})\sin (\beta -\alpha )}\right],\\ b& =\arctan \left[\frac{2\sin \beta }{\cot (\frac{c}{2})\sin (\alpha +\beta )+\tan (\frac{c}{2})\sin (\alpha -\beta )}\right].\end{array}$

Bản mẫu:Center

Một cạnh, một góc kề và một góc đối (GGC cầu)

Cho trước cạnh Bản mẫu:Math và hai góc Bản mẫu:Math. Cạnh Bản mẫu:Math có thể được tính bằng công thức sin trên mặt cầu:

$b=\arcsin \left(\frac{\sin a\sin \beta }{\sin \alpha }\right).$

Nếu góc của cạnh Bản mẫu:Math là góc nhọn và Bản mẫu:Math thì có thể giải theo công thức sau:

$b=\pi -\arcsin \left(\frac{\sin a\sin \beta }{\sin \alpha }\right).$

Có thể tìm các đặc tính còn lại bằng cách dùng đẳng thức Napier:

$\begin{array}{cc}c& =2\arctan [\tan (\frac{1}{2}(a-b))\frac{\sin (\frac{1}{2}(\alpha +\beta ))}{\sin (\frac{1}{2}(\alpha -\beta ))}],\\ \gamma & =2\mathrm{arccot}[\tan (\frac{1}{2}(\alpha -\beta ))\frac{\sin (\frac{1}{2}(a+b))}{\sin (\frac{1}{2}(a-b))}].\end{array}$

Bản mẫu:Center

Ba góc (GGG cầu)

Cho trước các góc Bản mẫu:Math. Từ công thức cos mặt cầu, suy ra:

$a=\arccos \left(\frac{\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }\right),$

$b=\arccos \left(\frac{\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }\right),$

$c=\arccos \left(\frac{\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }\right).$

Giải tam giác cầu vuông

Các thuật toán trên trở nên đơn giản hơn nếu một trong số các góc của tam giác (góc Bản mẫu:Math chẳng hạn) là góc vuông. Những tam giác cầu như vậy được định nghĩa hoàn toàn bởi hai yếu tố, và ba yếu tố còn lại có thể được tính toán bằng ngũ giác Napier (Napier's pentagon) hoặc các công thức sau.

$\sin a=\sin c\cdot \sin A$ (từ định luật sin mặt cầu)

$\tan a=\sin b\cdot \tan A$

$\cos c=\cos a\cdot \cos b$ (từ định luật cos mặt cầu)

$\tan b=\tan c\cdot \cos A$

$\cos A=\cos a\cdot \sin B$ (cũng từ định luật cos mặt cầu)

$\cos c=\cot A\cdot \cot B$

Ứng dụng

Đo đạc tam giác

Bản mẫu:Center

Bản mẫu:Main Nếu một người muốn đo đạc khoảng cách Bản mẫu:Math từ bờ đến một chiếc thuyền ngoài xa bằng phép đạc tam giác, người đó cần đánh dấu trên bờ hai điểm với khoảng cách Bản mẫu:Math biết trước giữa chúng (đường cơ sở). Gọi Bản mẫu:Math là hai góc giữa đường cơ sở và hướng của chiếc thuyền.

Từ công thức bên trên (trường hợp GCG trên hình học phẳng) một người có thể tính toán khoảng cách mà chính là đường cao tam giác:

$d=\frac{\sin \alpha \sin \beta }{\sin (\alpha +\beta )}\ell =\frac{\tan \alpha \tan \beta }{\tan \alpha +\tan \beta }\ell .$

Trong trường hợp mặt cầu, người đó đầu tiên cần tính độ dài cạnh từ điểm tại Bản mẫu:Math đến chiếc thuyền (cạnh đối của góc Bản mẫu:Math) bằng công thức GCG:

$\tan b=\frac{2\sin \beta }{\cot (l/2)\sin (\alpha +\beta )+\tan (l/2)\sin (\alpha -\beta )},$

và thế nó vào công thức GGC của tam giác vuông nhỏ chứa góc Bản mẫu:Math, cạnh Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math:

$\sin d=\sin b\sin \alpha =\frac{\tan b}{\sqrt{1+{\tan }^{2}b}}\sin \alpha .$

(Công thức mặt phẳng thực ra là số hạng đầu tiên của phép khai triển Taylor của Bản mẫu:Mvar của nghiệm mặt cầu với luỹ thừa cơ số Bản mẫu:Math.)

Phương pháp này được sử dụng trong chạy tàu ven biển (cabotage). Các góc Bản mẫu:Math được xác định bằng việc quan sát các điểm mốc quen thuộc từ chiếc thuyền. Bản mẫu:Clear

Bản mẫu:Center

Một ví dụ khác: Nếu một ai đó muốn đo chiều cao Bản mẫu:Math của một ngọn núi hay một toà nhà, các góc Bản mẫu:Math từ hai điểm dưới đất lên đến đỉnh phải được chỉ rõ. Cho Bản mẫu:Math là khoảng các giữa hai điểm trên. Từ cùng công thức GCG, ta có:

$h=\frac{\sin \alpha \sin \beta }{\sin (\beta -\alpha )}\ell =\frac{\tan \alpha \tan \beta }{\tan \beta -\tan \alpha }\ell .$

Khoảng cách giữa hai điểm trên địa cầu

Để tính khoảng cách giữa hai điểm trên quả địa cầu,

Điểm A: vĩ độ Bản mẫu:Math, kinh độ Bản mẫu:Math, và

Điểm B: vĩ độ Bản mẫu:Math, kinh độ Bản mẫu:Math

Xét tam giác cầu Bản mẫu:Math, với Bản mẫu:Math là Cực Bắc, có các đặc tính như sau:

$a=90^{\mathrm{o}}-{\lambda }_{\mathrm{B}},$

$b=90^{\mathrm{o}}-{\lambda }_{\mathrm{A}},$

$\gamma =L_{\mathrm{A}}-L_{\mathrm{B}}.$

Nếu biết trước hai cạnh và góc nằm trong, ta có công thức:

$\mathrm{A}\mathrm{B}=R\arccos [\sin {\lambda }_{\mathrm{A}}\sin {\lambda }_{\mathrm{B}}+\cos {\lambda }_{\mathrm{A}}\cos {\lambda }_{\mathrm{B}}\cos (L_{\mathrm{A}}-L_{\mathrm{B}})].$

Với Bản mẫu:Math là bán kính Trái Đất.

Xem thêm

• Tương đẳng
• Hansen's problem
• Hinge theorem
• Lénárt sphere
• Snellius–Pothenot problem

Tham khảo

• Bản mẫu:Cite book

Liên kết ngoài

• Trigonometric Delights, by Eli Maor, Princeton University Press, 1998. Ebook version, in PDF format, full text presented.
• Trigonometry by Alfred Monroe Kenyon and Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. In images, full text presented. Google book.
• Spherical trigonometry on Math World.
• Intro to Spherical Trig. Includes discussion of The Napier circle and Napier's rules
• Spherical Trigonometry — for the use of colleges and schools by I. Todhunter, M.A., F.R.S. Historical Math Monograph posted by Cornell University Library.
• Triangulator – Trình giải tam giác. Solve any plane triangle problem with the minimum of input data. Drawing of the solved triangle.
• TriSph – Free software to solve the spherical triangles, configurable to different practical applications and configured for gnomonic.
• Spherical Triangle Calculator – Giải tam giác cầu.
• TrianCal – Triangles solver by Jesus S.