Giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a

$x$	$\frac{\sin x}{x}$
1	0.841471...
0.1	0.998334...
0.01	0.999983...

Mặc dù hàm số Bản mẫu:Math không được định nghĩa tại Bản mẫu:Math, khi Bản mẫu:Math tiến càng gần đến Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math trở nên gần một cách tùy ý đến Bản mẫu:Math. Nói cách khác, giới hạn của Bản mẫu:Math khi Bản mẫu:Math tiếp cận Bản mẫu:Math bằng Bản mẫu:Math.

Bản mẫu:Giải tích Trong toán học, giới hạn của hàm số (Tiếng Anh: functional limit) là một khái niệm cơ bản trong vi tích phân và giải tích liên quan đến hành vi của hàm số đó gần một giá trị nhất định.

Định nghĩa chính quy, xuất hiện từ đầu thế kỷ thứ 19, được trình bày ở dưới. Không chính thức, một hàm số Bản mẫu:Math gán một giá trị đầu ra Bản mẫu:Math cho mỗi giá trị đầu vào Bản mẫu:Mvar. Ta nói hàm số có giới hạn Bản mẫu:Mvar tại giá trị Bản mẫu:Mvar: nghĩa là Bản mẫu:Math tiến càng ngày càng gần Bản mẫu:Mvar khi Bản mẫu:Mvar tiến càng gần Bản mẫu:Mvar. Cụ thể hơn, với bất kỳ giá trị đầu vào nào đủ gần với Bản mẫu:Mvar, kết quả nhận được phải gần tùy ý đến Bản mẫu:Mvar. Ngược lại, ta nói giới hạn không tồn tại.

Khái niệm về giới hạn có nhiều ứng dụng trong giải tích hiện đại. Cụ thể, nhiều định nghĩa của tính liên tục sử dụng giới hạn: một hàm số gọi là liên tục nếu tất cả giới hạn của nó bằng với giá trị của nó. Giới hạn cũng xuất hiện trong định nghĩa của đạo hàm: trong giải tích một biến, đạo hàm là giá trị giới hàm của độ dốc của đường cát tuyến với đồ thị của một hàm số.

Lịch sử

Giới hạn không được sử dụng rõ ràng trong quá trình phát triển của giải tích trong thế kỷ 17 và 18, và ý tưởng hiện đại về giới hạn của một hàm số thuộc về Bolzano, người mà trong năm 1817, giới thiệu về kĩ thuật epsilon-delta để định nghĩa hàm số liên tục. Tuy nhiên, những công trình của ông không được biết đến trong cho đến khi ông qua đời Bản mẫu:Harv. Trong quyển Cours d'analyse của mình năm 1821, Cauchy thảo luận về biến số, vô cùng bé, giới hạn và tính liên tục của Bản mẫu:Math bằng việc nói rằng một thay đổi vô cùng bé trong Bản mẫu:Mvar tạo ra một thay đổi vô cùng bé trong Bản mẫu:Mvar, đồng thời Bản mẫu:Harv khẳng định ông chỉ có thể định nghĩa bằng từ ngữ. Weierstrass lần đầu tiên sử dụng định nghĩa epsilon-delta cho giới hạn mà vẫn được dùng đến ngày nay. Ông cũng sử dụng các ký hiệu $\lim$ và $\underset{x\to x_0}{\lim }$ Bản mẫu:Harv.

Ký hiệu hiện đại đặt dấu mũi tên ở dưới ký hiệu giới hạn xuất phát từ Hardy trong cuốn sách A Course of Pure Mathematics xuất bản 1908 Bản mẫu:Harv.

Ý tưởng

Giả sử một người đang đi trên đồ thị của hàm số Bản mẫu:Math. Hoành độ của người đó là giá trị của biến Bản mẫu:Math, còn độ cao là giá trị của tung độ Bản mẫu:Math. Người đó đi lại gần vị trí có hoành độ là Bản mẫu:Math. Khi người đó tiến càng gần đến vị trí đó, cô ta nhận ra độ cao của cô tiếp xúc Bản mẫu:Math. Nếu được hỏi về độ cao của điểm Bản mẫu:Math, cô ấy sẽ trả lời là Bản mẫu:Math.

Vậy, nói độ cao của người đó tiếp cận Bản mẫu:Math có nghĩa là độ cao của cô ấy càng gần Bản mẫu:Math với sai số có thể làm nhỏ tùy ý. Ví dụ, ta đặt mục tiêu cho sai số đó bé hơn mười mét, cô ta bảo rằng cô có thể làm được bằng cách tiến gần hơn đến vị trí Bản mẫu:Math, chẳng hạn là trong khoảng cách năm mươi mét (theo chiều ngang). Tức miễn là cô đứng cách Bản mẫu:Math không quá năm mươi mét thì độ cao của cô sẽ cách Bản mẫu:Math không quá mười mét.

Tương tự, không nhất thiết phải là mười mét, nếu yêu cầu sai số xuống còn một mét, cô ấy vẫn có thể đạt được độ cao cần thiết bằng cách tiến gần đến Bản mẫu:Math hơn. Tóm lại, nói độ cao của người đó tiếp cận Bản mẫu:Math khi cô ấy tiến về vị trí Bản mẫu:Math nghĩa là với bất kỳ sai số tối đa nào, dù nhỏ cỡ nào đi nữa, cũng tồn tại một vùng quanh Bản mẫu:Math mà trong đó độ cao của người đó nằm trong sai số yêu cầu ấy.

Lời giải thích trên có thể được phát biểu như sau:

Giới hạn của hàm số Bản mẫu:Math khi Bản mẫu:Math tiến tới Bản mẫu:Math là một số Bản mẫu:Math thỏa mãn tính chất: với bất kì khoảng cách nào từ Bản mẫu:Math, có một vùng xung quanh Bản mẫu:Math mà trong đó giá trị của Bản mẫu:Math nằm trong khoảng cách đã cho.

Phát biểu trên khá gần với định nghĩa hoàn chỉnh của giới hạn của một hàm số có giá trị trong một không gian Hausdorff. Định nghĩa sau đây, (thường được gọi là định nghĩa (ε, δ)), nhìn chung được chấp nhận trong nhiều hoàn cảnh khác nhau.

Hàm số một biến

Giả sử Bản mẫu:Math được định nghĩa trên tập số thực và Bản mẫu:Math. Ta nói giới hạn của Bản mẫu:Math, khi Bản mẫu:Math tiến tới Bản mẫu:Math, là Bản mẫu:Math và viết

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L,$

nếu tính chất sau là đúng: Với mọi số thực Bản mẫu:Math, tồn tại một số thực Bản mẫu:Math sao cho với mọi Bản mẫu:Math thỏa mãn Bản mẫu:Math thì Bản mẫu:Math.

Có thể thấy giới hạn của hàm số không phụ thuộc việc Bản mẫu:Mvar có nghĩa tại Bản mẫu:Mvar, và cũng không phụ thuộc vào giá trị của Bản mẫu:Mvar tại Bản mẫu:Mvar, tức Bản mẫu:Math.

Các ẩn Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar có thể hiểu là "sai số" và "khoảng cách", và thực tế là Cauchy đã dùng Bản mẫu:Mvar để viết tắt cho "sai số" trong một số tác phẩm của ông Bản mẫu:Harv, mặc dù trong định nghĩa của tính liên tục ông dùng Bản mẫu:Mvar vô cùng nhỏ thay vì Bản mẫu:Mvar hay Bản mẫu:Mvar (xem Cours d'Analyse).

Giới hạn một bên

Giới hạn khi Bản mẫu:Math khác với giới hạn khi Bản mẫu:Math. Do đó, giới hạn khi Bản mẫu:Math không tồn tại.

Thay vì tiếp cận theo cả hai phía, Bản mẫu:Mvar có thể tiến tới Bản mẫu:Mvar từ bên phải hoặc bên trái, khi đó giới hạn được gọi là giới hạn bên phải (bên trái) của Bản mẫu:Mvar tại Bản mẫu:Mvar, kí hiệu là

$\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=L$

cho giới hạn bên phải, và

$\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=L$

cho giới hạn bên trái. Nếu cả hai giới hạn này tồn tại và bằng nhau, khi ấy giới hạn của Bản mẫu:Mvar tại Bản mẫu:Mvar cũng tồn tại và bằng giá trị của hai giới hạn một bên. Nếu các giới hạn này tồn tại nhưng không bằng nhau thì giới hạn của Bản mẫu:Mvar tại Bản mẫu:Mvar không tồn tại. Nếu một trong hai giới hạn một bên này không tồn tại thì giới hạn tại Bản mẫu:Mvar cũng không tồn tại.

Một định nghĩa hoàn chỉnh như sau:

• Giới hạn của Bản mẫu:Math khi Bản mẫu:Mvar tiến tới Bản mẫu:Mvar từ bên phải (hay từ bên trên) là Bản mẫu:Mvar nếu, với mọi Bản mẫu:Math, tồn tại một số Bản mẫu:Math sao cho nếu Bản mẫu:Math thì Bản mẫu:Mvar.
• Giới hạn của Bản mẫu:Math khi Bản mẫu:Mvar tiến tới Bản mẫu:Mvar từ bên trái (hay từ bên dưới) là Bản mẫu:Mvar nếu, với mọi Bản mẫu:Math, tồn tại một số Bản mẫu:Math sao cho nếu Bản mẫu:Math thì Bản mẫu:Mvar.

Để ý rằng nếu cả hai điều kiện Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math đều thỏa thì sẽ tương đương với Bản mẫu:Math

Ví dụ

Giới hạn một bên không tồn tại

Một hàm số không có giới hạn bên phải tại Bản mẫu:Math, do đó Bản mẫu:Math là một đứt gãy cơ bản

Hàm số

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\sin \frac{5}{x-1}& \text{ cho }x<1\\ 0& \text{ cho }x=1\\ \frac{1}{10(x-1)}& \text{ cho }x>1\end{array}$

không có giới hạn tại Bản mẫu:Math: giới hạn bên trái không tồn tại do tính dao động của hàm sin, giới hạn bên phải không tồn tại do hàm nghịch đảo tiệm cận về vô cùng. Tuy nhiên, hàm số này có giới hạn tại mọi điểm khác ngoài Bản mẫu:Math trên trục số thực.

Hàm Dirichlet, định nghĩa là Bản mẫu:Math nếu Bản mẫu:Mvar là số hữu tỉ và Bản mẫu:Math nếu Bản mẫu:Mvar là số vô tỉ, không có giới hạn tại bất kì điểm nào trong tập số thực.

Giới hạn một bên không bằng nhau

Hàm số

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1& \text{ cho }x<0\\ 2& \text{ cho }x\ge 0\end{array}$

có giới hạn tại mọi điểm Bản mẫu:Mvar khác Bản mẫu:Math (giới hạn đó bằng Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Mvar âm và bằng Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Mvar dương). Giới hạn tại Bản mẫu:Math không tồn tại, do giới hạn bên trái (bằng Bản mẫu:Math) và giới hạn bên phải (bằng Bản mẫu:Math) là khác nhau.

Giới hạn tại một điểm

Hàm số Bản mẫu:Math, được định nghĩa là Bản mẫu:Math nếu Bản mẫu:Mvar là số hữu tỉ và Bản mẫu:Math nếu Bản mẫu:Mvar là số vô tỉ, có giới hạn tại Bản mẫu:Math và giới hạn đó bằng Bản mẫu:Math.

Giới hạn tại vô số điểm đếm được

Hàm số Bản mẫu:Mvar, được định nghĩa Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Mvar vô tỉ và Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Mvar hữu tỉ, có giới hạn tại mọi điểm có dạng Bản mẫu:Math, trong đó Bản mẫu:Mvar là một số nguyên bất kỳ.

Hàm số trên không gian mêtric

Giả sử Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar lần lượt là tập con của không gian metric Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar, và ánh xạ Bản mẫu:Math, với Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Mvar là một điểm giới hạn của Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Math. Ta nói giới hạn của Bản mẫu:Mvar khi Bản mẫu:Mvar tiến tới Bản mẫu:Mvar là Bản mẫu:Mvar và viết

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$

nếu tính chất sau thỏa: với mọi Bản mẫu:Math, tồn tại một Bản mẫu:Math sao cho nếu Bản mẫu:Math thì Bản mẫu:Math.

Cũng như trên, để ý rằng Bản mẫu:Mvar không nhất thiết nằm trong tập xác định của Bản mẫu:Mvar, cũng như Bản mẫu:Mvar không nhất thiết nằm trong tập giá trị của Bản mẫu:Mvar, và ngay cả khi Bản mẫu:Math có nghĩa, nó cũng không nhất thiết bằng Bản mẫu:Mvar.

Một định nghĩa khác sử dụng khái niệm lân cận. Ta viết

$\underset{x\to p}{\lim }f(x)=L$

nếu với mọi lân cận Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Mvar trong Bản mẫu:Mvar, tồn tại một lân cận Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Mvar trong Bản mẫu:Mvar sao cho Bản mẫu:Math.

Hàm số trên không gian tôpô

Giả sử Bản mẫu:Mvar, Bản mẫu:Mvar là các không gian tôpô với Bản mẫu:Mvar là một không gian Hausdorff. Gọi Bản mẫu:Mvar là một điểm giới hạn của Bản mẫu:Math, và Bản mẫu:Math. Với hàm số Bản mẫu:Math, ta nói giới hạn của Bản mẫu:Mvar khi Bản mẫu:Mvar tiến tới Bản mẫu:Mvar là Bản mẫu:Mvar (tức là, Bản mẫu:Math khi Bản mẫu:Math) và viết:

$\underset{x\to p}{\lim }f(x)=L$

nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn: với mọi lân cận mở Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Mvar, tồn tại một lân cận mở Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Mvar sao cho Bản mẫu:Math.

Để ý rằng tập xác định của Bản mẫu:Mvar không nhất thiết phải chứa Bản mẫu:Mvar, và nếu có thì giá trị của Bản mẫu:Mvar tại Bản mẫu:Mvar không ảnh hưởng đến định nghĩa của giới hạn. Cụ thể, nếu tập xác định của Bản mẫu:Mvar là Bản mẫu:Math} (hoặc toàn bộ Bản mẫu:Mvar), thì giới hạn của Bản mẫu:Mvar khi Bản mẫu:Math tồn tại và bằng Bản mẫu:Mvar nếu, với mọi tập con Bản mẫu:Math của Bản mẫu:Mvar có điểm giới hạn Bản mẫu:Mvar, giới hạn của Bản mẫu:Mvar trên Bản mẫu:Math tồn tại và bằng Bản mẫu:Mvar. Đôi khi điều kiện này được dùng để thiết lập sự không tồn tại của giới hạn hai bên của một hàm số trên Bản mẫu:Math bằng cách chỉ ra các giới hạn một bên không tồn tại hoặc không bằng nhau.

Ngoài ra, điều kiện Bản mẫu:Mvar là một không gian Hausdorff có thể được nói lỏng thành một không gian tôpô nói chung, nhưng khi ấy giới hạn của hàm số có thể không còn là duy nhất. Cụ thể, ta nói một giới hạn hoặc tập các giới hạn của hàm số tại mộ điểm.

Một hàm số liên tục tại điểm giới hạn Bản mẫu:Mvar nằm trong tập xác định của nó khi và chỉ khi Bản mẫu:Math là (một) giới hạn của Bản mẫu:Math khi Bản mẫu:Mvar tiến tới Bản mẫu:Mvar.

Giới hạn có vô cùng

Giới hạn tại vô cùng

Giới hạn tại vô cùng của hàm số này tồn tại.

Với hàm số thực Bản mẫu:Math, ta nói giới hạn của Bản mẫu:Mvar khi Bản mẫu:Mvar tiến tới (dương) vô cùng là Bản mẫu:Mvar, viết là

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=L,$

nghĩa là với mọi Bản mẫu:Math, tồn tại một số Bản mẫu:Mvar sao cho nếu Bản mẫu:Math thì Bản mẫu:Math. Viết bằng ký hiệu là:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }c\mathrm{\forall }x>c:|f(x)-L|<\epsilon$.

Tương tự, ta nói giới hạn của Bản mẫu:Mvar khi Bản mẫu:Mvar tiến tới âm vô cùng là Bản mẫu:Mvar, viết là

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=L,$

nghĩa là với mọi Bản mẫu:Math, tồn tại một số Bản mẫu:Mvar sao cho nếu Bản mẫu:Math thì Bản mẫu:Math. Viết bằng ký hiệu là:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }c\mathrm{\forall }x<c:|f(x)-L|<\epsilon$.

Ví dụ: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^x=0.$

Giới hạn vô cùng

Với hàm số có giá trị tăng đến vô cùng, nó phân kỳ và giới hạn thông thường không tồn tại. Tuy nhiên, trong trường hợp này ta có thể định nghĩa giới hạn với giá trị vô cùng. Ví dụ, phát biểu giới hạn của Bản mẫu:Mvar khi Bản mẫu:Mvar tiến tới Bản mẫu:Mvar là vô hạn, viết là

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty },$

nghĩa là với mọi Bản mẫu:Math, tồn tại một số Bản mẫu:Math sao cho nếu Bản mẫu:Math thì Bản mẫu:Math.

Những định nghĩa này có thể được kết hợp với nhau một cách tự nhiên để cho ta những loại giới hạn tương tự như

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }.$

Ví dụ,

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln x=-\mathrm{\infty }.$

Những giới hạn vô hạn có liên quan đến khái niệm tiệm cận.

Những định nghĩa trên có cách tiếp cận sử dụng không gian mêtric. Thực tế, chúng tương thích với định nghĩa không gian tôpô của giới hạn nếu

• một lân cận của Bản mẫu:Math được định nghĩa để chứa một đoạn Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Math, và
• một lân cận của Bản mẫu:Math được định nghĩa để chứa một đoạn Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Math, và
• một lân cận của Bản mẫu:Math được định nghĩa như trong không gian mêtric Bản mẫu:Math.

Trong trường hợp đó, Bản mẫu:Math là một không gian tôpô và định nghĩa không gian tôpô cho giới hạn áp dụng cho bất kì hàm số Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Math, khi ấy giới hạn vô cùng có thể được định nghĩa dễ dàng.

Giới hạn tại vô hạn của hàm phân thức

Tiệm cận ngang Bản mẫu:Math

Có ba quy tắc cơ bản để tính giới hạn tại dương vô cùng của một hàm phân thức Bản mẫu:Math (trong đó Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar là các đa thức):

• Nếu bậc của Bản mẫu:Mvar lớn hơn bậc của Bản mẫu:Mvar, thì giới hạn là dương hoặc âm vô cùng, tùy thuộc vào dấu của hệ số bậc cao nhất của hai đa thức (cùng dấu là dương, ngược dấu là âm);
• Nếu bậc của Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar bằng nhau, giới hạn bằng hệ số bậc cao nhất của Bản mẫu:Mvar chia cho hệ số bậc cao nhất của Bản mẫu:Mvar;
• Nếu bậc của Bản mẫu:Mvar nhỏ hơn bậc của Bản mẫu:Mvar, giới hạn là Bản mẫu:Math.

Nếu giới hạn (hữu hạn) tại vô cùng của Bản mẫu:Mvar tồn tại, nó tượng trưng cho tiệm cận ngang tại Bản mẫu:Math. Đa thức không có tiệm cận ngang, tuy nhiên các hàm phân thức có thể có.

Hàm số nhiều biến

Để ý rằng Bản mẫu:Math tượng trưng cho khoảng cách trên trục số, định nghĩa của giới hạn có thể được mở rộng cho hàm số của nhiều hơn một biến. Trong trường hợp hai biến, với hàm số Bản mẫu:Math, ta viết

$\underset{(x,y)\to (a,b)}{\lim }f(x,y)=L$

nếu

với mọi Bản mẫu:Math, tồn tại một Bản mẫu:Math sao cho với mọi Bản mẫu:Math thỏa mãn Bản mẫu:Math, thì Bản mẫu:Math

trong đó Bản mẫu:Math là khoảng cách Euclid. Định nghĩa này có thể được mở rộng cho số biến bất kỳ.

Hoàn cảnh khác

Dãy số

Với hàm số trên trục số thực, một cách để định nghĩa giới hạn của một hàm số là bằng giới hạn của dãy số. (định nghĩa này thường được cho là của Eduard Heine). Trong hoàn cảnh này:

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$

nếu và chỉ nếu với mọi dãy số Bản mẫu:Math (Bản mẫu:Math khác Bản mẫu:Mvar với mọi Bản mẫu:Mvar) hội tụ về Bản mẫu:Mvar, dãy Bản mẫu:Math hội tụ về Bản mẫu:Mvar. Năm 1916, Sierpiński chứng minh sự tương đương của định nghĩa này và định nghĩa ở trên, sử dụng một dạng yếu hơn của tiên đề chọn. Chú ý rằng để định nghĩa một dãy Bản mẫu:Math hội tụ về Bản mẫu:Mvar vẫn cần định nghĩa Bản mẫu:Math của giới hạn.

Tương tự với định nghĩa của Weierstrass, một định nghĩa Heine tổng quát hơn áp dụng cho hàm số định nghĩa trên tập con của tập số thực. Gọi Bản mẫu:Mvar là một hàm số giá trị thực với tập xác định Bản mẫu:Mvar, Bản mẫu:Mvar là giới hạn của một dãy các phần tử thuộc Bản mẫu:Math}. Khi ấy giới hạn của Bản mẫu:Mvar là Bản mẫu:Mvar khi Bản mẫu:Mvar tiến tới Bản mẫu:Mvar nếu

với mọi dãy Bản mẫu:Math} mà hội tụ về Bản mẫu:Mvar thì dãy Bản mẫu:Math hội tụ về Bản mẫu:Mvar.

Giải tích không chính quy

Trong giải tích không chính quy, giới hạn của hàm số được định nghĩa là:

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$

khi và chỉ khi với mọi Bản mẫu:Math, nếu Bản mẫu:Math vô cùng nhỏ thì Bản mẫu:Math là vô cùng nhỏ.

Ở đây Bản mẫu:Math là tập số siêu thực và Bản mẫu:Math là mở rộng tự nhiên của Bản mẫu:Mvar cho tập số thực không chính quy. Keisler chứng minh rằng định nghĩa giới hạn sử dụng số siêu thực giúp đơn giản hóa đi hai biến. Mặt khác, Karel Hrbacek viết rằng để những định nghĩa như thế hợp lệ cho mọi số siêu thực, chúng vẫn phải gián tiếp sử dụng phương pháp Bản mẫu:Math, và cho rằng, từ góc nhìn sư phạm, việc giải tích không chính quy có thể được thực hiện mà không cần phương pháp Bản mẫu:Math là khó khả thi. Piotr Błaszczyk và những người khác chỉ ra sự hữu dụng của liên tục vi mô trong việc xây dựng một định nghĩa rõ ràng cho tính liên tục đều, và đánh giá chỉ trích của Hrbacek là "lời than vãn mơ hồ".

Độ gần

Tại hội nghị toán học quốc tế 1908, nhà toán học Frigyes Riesz giới thiệu một cách khác để định nghĩa giới hạn và tính liên tục sử dụng một khái niệm gọi là "độ gần". Một điểm Bản mẫu:Mvar được gọi là "gần" một tập Bản mẫu:Math nếu với mọi Bản mẫu:Math, tồn tại một Bản mẫu:Math sao cho Bản mẫu:Math. Trong trường hợp này, ta có

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$

khi và chỉ khi với mọi tập Bản mẫu:Math, nếu Bản mẫu:Mvar gần Bản mẫu:Mvar thì Bản mẫu:Mvar gần Bản mẫu:Math. Ở đây Bản mẫu:Math ký hiệu cho tập Bản mẫu:Math}. Định nghĩa này cũng có thể mở rộng cho không gian mêtric và không gian tôpô.

Tính liên tục

Khái niệm giới hạn của hàm số liên quan chặt chẽ đến khái niệm tính liên tục. Một hàm số Bản mẫu:Mvar được gọi là liên tục tại Bản mẫu:Mvar nếu nó có nghĩa tại Bản mẫu:Mvar và giá trị của nó tại Bản mẫu:Mvar bằng giới hạn của Bản mẫu:Mvar khi Bản mẫu:Mvar tiến tới Bản mẫu:Mvar:

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=f(c).$

(Ở đây ta giả sử Bản mẫu:Mvar là một điểm giới hạn trong miền xác định của Bản mẫu:Mvar.)

Tính chất

Phép tính đại số

Cho hàm số Bản mẫu:Math giữa hai không gian mêtric Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar. Nếu Bản mẫu:Mvar là một không gian định chuẩn thì toán tử giới hạn là tuyến tính theo nghĩa sau:

• Nếu giới hạn của Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math khi Bản mẫu:Mvar tiến tới Bản mẫu:Mvar lần lượt là Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar thì giới hạn của Bản mẫu:Math khi Bản mẫu:Mvar tiến tới Bản mẫu:Mvar là Bản mẫu:Math
• Nếu Bản mẫu:Mvar là một scalar từ trường của Bản mẫu:Mvar thì giới hạn của Bản mẫu:Math khi Bản mẫu:Mvar tiến tới Bản mẫu:Mvar là Bản mẫu:Mvar.

Nếu Bản mẫu:Mvar là một hàm thực (hoặc phức) thì việc lấy giới hạn vẫn bảo toàn các phép toán đại số thông thường, với điều kiện các giới hạn ở vế phải tồn tại (đẳng thức cuối chỉ đúng nếu mẫu số ở vế trái khác không).

$\begin{array}{cccc}\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}& (f(x)+g(x))& =& \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}f(x)+\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}g(x)\\ \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}& (f(x)-g(x))& =& \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}f(x)-\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}g(x)\\ \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}& (f(x)\cdot g(x))& =& \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}f(x)\cdot \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}g(x)\\ \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}& (f(x)/g(x))& =& \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}f(x)/\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}g(x)\end{array}$

Trong mỗi trường hợp trên, ngay cả khi giới hạn ở vế phải không tồn tại, hoặc giới hạn ở tử và mẫu trong đẳng thức cuối đều bằng không (gọi là dạng bất định), thì giới hạn ở vế trái vẫn có thể tồn tại, tùy thuộc vào các hàm số Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar. Ví dụ như nếu Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math, khi ấy:

$\begin{array}{cccc}& \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0}f(x)& =& \mathrm{\infty }\\ & \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0}g(x)& =& -\mathrm{\infty }\\ & \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0}f(x)+g(x)& =& 0\end{array}$

Một ví dụ khác là hàm sinc Bản mẫu:Math đã được giới thiệu ở trên. Cả Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Mvar đều tiến về Bản mẫu:Math khi Bản mẫu:Mvar tiến về Bản mẫu:Math, tuy nhiên Bản mẫu:Math có giới hạn là Bản mẫu:Math khi Bản mẫu:Mvar tiến về Bản mẫu:Math.

Những quy tắc trên cũng hợp lệ với giới hạn một bên, giới hạn ở vô cùng và giới hạn vô hạn, với những quy tắc sau:

• Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Math
• Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Math
• Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Math
• Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Math

(xem trục số thực mở rộng)

Lưu ý rằng không có quy tắc tổng quát nào cho trường hợp Bản mẫu:Math; tất cả phụ thuộc vào các hàm số đã cho. Các dạng bất định—ví dụ như Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math, và Bản mẫu:Math—cũng không thể áp dụng những quy tắc trên được, nhưng thường có thể được tính bằng quy tắc l'Hôpital hoặc định lý kẹp.

Giới hạn của hàm hợp

Nói chung, khi có

$\underset{y\to b}{\lim }f(y)=c$ và $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=b$,

ta không suy ra được $\underset{x\to a}{\lim }f(g(x))=c$. Tuy nhiên, quy tắc này là đúng nếu một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn:

• Bản mẫu:Math (tức là Bản mẫu:Mvar liên tục tại Bản mẫu:Mvar), hoặc
• Bản mẫu:Mvar không nhận giá trị Bản mẫu:Mvar ở gần Bản mẫu:Mvar (tức là, tồn tai một Bản mẫu:Math sao cho nếu Bản mẫu:Math thì Bản mẫu:Math

Một ví dụ cụ thể, ta xét hai hàm không thỏa mãn cả hai điều kiện trên:

$f(x)=g(x)=\{\begin{array}{cc}0& \mathrm{n}\acute{\hat{\mathrm{e}}}\mathrm{u}x\ne 0\\ 1& \mathrm{n}\acute{\hat{\mathrm{e}}}\mathrm{u}x=0\end{array}.$

Dễ thấy rằng

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=0$ với mọi $a$.

Do đó, áp dụng quy tắc hợp mà không dùng điều kiện trên dẫn đến giới hạn của Bản mẫu:Math là Bản mẫu:Math. Tuy nhiên, thực tế là

$f(f(x))=\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{n}\acute{\hat{\mathrm{e}}}\mathrm{u}x\ne 0\\ 0& \mathrm{n}\acute{\hat{\mathrm{e}}}\mathrm{u}x=0\end{array}$

và do đó

$\underset{x\to a}{\lim }f(f(x))=1$ với mọi $a$.

Giới hạn đặc biệt

Hàm phân thức

Với số nguyên không âm Bản mẫu:Mvar và các hằng số Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math,

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_1{x}^n+a_2{x}^{n-1}+a_3{x}^{n-2}+...+a_n}{b_1{x}^n+b_2{x}^{n-1}+b_3{x}^{n-2}+...+b_n}=\frac{a_1}{b_1}$

Điều này có thể chứng minh bằng cách chia cả tử và mẫu cho Bản mẫu:Math. Nếu đa thức ở tử có bậc lớn hơn đa thức ở mẫu, giới hạn này không tồn tại (bằng vô cùng). Nếu đa thức ở tử có bậc nhỏ hơn thì giới hạn này bằng Bản mẫu:Math.

Hàm lượng giác

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x}=0$
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x\sin \left(\frac{1}{x}\right)=1$

Hàm mũ

• $\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{r})}^r=e$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{ax}-1}{bx}=\frac{a}{b}$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{c^{ax}-1}{bx}=\frac{a}{b}\ln c$
• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^x=1$

Hàm logarit

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+ax)}{bx}=\frac{a}{b}$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\log }_c(1+ax)}{bx}=\frac{a}{b\ln c}$

Quy tắc l'Hôpital

Bản mẫu:Main Quy tắc này sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn của dạng bất định như Bản mẫu:Math hay Bản mẫu:Math, và chỉ áp dụng được trong những trường hợp đó. Cho hai hàm số Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math, được định nghĩa trên một khoảng mở Bản mẫu:Math chứa điểm giới hạn Bản mẫu:Mvar. Nếu cả bốn điều kiện sau đều được thỏa mãn:

1. $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0,$ hoặc $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\pm \underset{x\to c}{\lim }g(x)=\pm \mathrm{\infty }$
2. $f$ và $g$ khả vi trên $I\setminus \{c\}$
3. $g^{\prime }(x)\ne 0$ với mọi $x\in I\setminus \{c\}$
4. $\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ tồn tại,

thì:

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

Ví dụ: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (2x)}{\sin (3x)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\cos (2x)}{3\cos (3x)}=\frac{2\cdot 1}{3\cdot 1}=\frac{2}{3}.$

Tổng và tích phân

Thay vì viết giới hạn ở vô cùng, ta thường đặt vô cùng lên các chặn của tổng hoặc tích phân.Ví dụ:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=s}^{n}f(i)=\sum _{i=s}^{\mathrm{\infty }}f(i)$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt=\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)dt$.

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{x}{\overset{b}{\int }}f(t)dt=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{b}{\int }}f(t)dt$.

Xem thêm

• Danh sách giới hạn
• Giới hạn một bên
• Giới hạn của một dãy
• Lưới (toán học)
• Kí hiệu O lớn
• Giới hạn trên và giới hạn dưới
• Quy tắc l'Hôpital
• Định lý kẹp
• Giải tích không chính quy

Tham khảo

• Apostol, Tom M., Mathematical Analysis, 2nd ed. Addison–Wesley, 1974. Bản mẫu:Isbn.
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation.
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation.
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation.
• Bản mẫu:Citation.
• Sutherland, W. A., Introduction to Metric and Topological Spaces. Oxford University Press, Oxford, 1975. Bản mẫu:Isbn.
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation

Liên kết ngoài

• MacTutor History of Weierstrass.
• MacTutor History of Bolzano
• Visual Calculus Bản mẫu:Webarchive bởi Lawrence S. Husch, Đại học Tennessee (2001)