Hình vành khăn

Một hình vành khăn

Hình minh họa theo phương pháp vi tích phân trực quan của Mamikon cho thấy diện tích của hai hình vành khăn có cùng độ dài dây cung lớn nhất là bằng nhau với mọi bán kính trong và ngoài.

Trong toán học, hình vành khăn (Bản mẫu:Lang-en, từ tiếng Latinh Bản mẫu:Lang / Bản mẫu:Lang, có nghĩa là "chiếc nhẫn nhỏ", số nhiều là Bản mẫu:Lang / Bản mẫu:Lang) là một vật hình nhẫn, phần mặt phẳng nằm giữa hai đường tròn đồng tâm.

Những hình vành khăn mở tương đương tô pô với cả hình trụ mở Bản mẫu:Math và mặt phẳng thủng (Bản mẫu:Lang).

Diện tích

Diện tích hình vành khăn là hiệu của diện tích hình tròn lớn bán kính Bản mẫu:Math với diện tích hình tròn nhỏ bán kính Bản mẫu:Math:

$A=\pi R^2-\pi r^2=\pi (R^2-r^2).$

Diện tích hình vành khăn được xác định dựa vào độ dài của đoạn thẳng dài nhất trong hình, tức dây cung tiếp tuyến với đường tròn phía trong, có độ dài Bản mẫu:Math như hình minh họa. Có thể thể hiện phân tích này bằng định lý Pythagoras vì đoạn thẳng này tiếp tuyến với đường tròn nhỏ và vuông góc với bán kính Bản mẫu:Math tại tiếp điểm, do đó Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math là các cạnh góc vuông của một tam giác vuông với cạnh huyền Bản mẫu:Math và diện tích hình vành khăn được tính theo công thức:

$A=\pi (R^2-r^2)=\pi d^2.$

Cũng có thể áp dụng vi tích phân để tính diện tích bằng cách chia nhỏ hình vành khăn thành một số lượng hình vành khăn vô hạn với chiều rộng Bản mẫu:Math nhỏ đến vô cùng và diện tích Bản mẫu:Math, sau đó giải tích phân từ Bản mẫu:Math đến Bản mẫu:Math:

$A=\underset{r}{\overset{R}{\int }}2\pi \rho d\rho =\pi (R^2-r^2).$

Diện tích hình quạt vành khăn với góc Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math đo bằng radian, được tính theo công thức:

$A=\frac{\theta }{2}(R^2-r^2).$

Cấu trúc phức

Trong giải tích phức, hình vành khăn Bản mẫu:Math trong mặt phẳng phức là một tập mở được định nghĩa là:

$r<|z-a|<R.$

Nếu Bản mẫu:Math bằng Bản mẫu:Math, tập này được xem là đĩa thủng (punctured disk) có bán kính Bản mẫu:Math, tâm Bản mẫu:Math.

Là tập hợp con của mặt phẳng phức, hình vành khăn có thể được coi là một mặt Riemann. Cấu trúc phức của hình vành khăn chỉ phụ thuộc vào tỷ lệ Bản mẫu:Math. Mỗi hình vành khăn Bản mẫu:Math có thể được ánh xạ chỉnh hình tới một hình vành khăn chuẩn tương ứng, dựa trên tâm cũ và với bán kính ngoài 1.

$z\mapsto \frac{z-a}{R}.$

Bán kính trong lúc này là Bản mẫu:Math.

Định lý ba vòng tròn Hadamard là một phát biểu về giá trị tối đa mà hàm chỉnh hình có thể nhận được trong một hình vành khăn.

Xem thêm

• Định lý hình vành khăn
• Vỏ cầu
• Hình xuyến
• Danh sách các hình hình học

Liên kết ngoài

• Định nghĩa và tính chất hình vành khăn với hoạt hình tương tác
• Diện tích hình vành khăn với hoạt hình tương tác