Hàm ngược

Hàm Bản mẫu:Mvar và nghịch đảo của nó Bản mẫu:Math. Bởi Bản mẫu:Mvar ánh xạ Bản mẫu:Mvar sang 3, nghịch đảo Bản mẫu:Math ánh xạ 3 quay lại về Bản mẫu:Mvar.

Trong toán học, hàm ngược của hàm Bản mẫu:Mvar (hay còn gọi là nghịch đảo của Bản mẫu:Mvar) là hàm hoàn tác lại tính toán của hàm Bản mẫu:Mvar. Nghịch đảo Bản mẫu:Mvar chỉ tồn tại khi và chỉ khi Bản mẫu:Mvar là song ánh, và nếu nó tồn tại thì nghịch đảo đó được ký hiệu là $f^{-1}.$

Cho hàm $f:X\to Y$, nghịch đảo $f^{-1}:Y\to X$ được mô tả như sau: hàm gửi mỗi phần tử $y\in Y$ sang duy nhất một phần tử $x\in X$ sao cho Bản mẫu:Math.

Lấy ví dụ, xét hàm thực trả về giá trị thực sau: Bản mẫu:Math. Ta có thể hiểu Bản mẫu:Mvar là hàm số nhân giá trị đầu vào với 3 rồi trừ đi 4 khỏi kết quả. Để lấy về giá trị gốc từ kết quả, ta làm ngược lại bằng cách thêm 4 vào đầu vào rồi chia kết quả cho 3. Khi đó nghịch đảo của Bản mẫu:Mvar là hàm $f^{-1}:ℝ\to ℝ$ được định nghĩa bởi: $f^{-1}(y)=\frac{y+4}{3}.$

Định nghĩa

Nếu Bản mẫu:Mvar ánh xạ Bản mẫu:Mvar sang Bản mẫu:Mvar, thì Bản mẫu:Math ánh xạ Bản mẫu:Mvar ngược lại về Bản mẫu:Mvar.

Gọi Bản mẫu:Mvar là hàm số mà miền của nó là tập Bản mẫu:Mvar, và đối miền của nó là tập Bản mẫu:Mvar. Khi đó, Bản mẫu:Mvar được gọi là khả nghịch nếu tồn tại hàm Bản mẫu:Mvar từ Bản mẫu:Mvar sang Bản mẫu:Mvar sao cho $g(f(x))=x$ với mọi $x\in X$ và $f(g(y))=y$ với mọi $y\in Y$.

Nếu Bản mẫu:Mvar khả nghịch, thì chỉ có duy nhất một hàm Bản mẫu:Mvar thoả mãn tính chất. Hàm Bản mẫu:Mvar được gọi là nghịch đảo (hay hàm ngược) của Bản mẫu:Mvar, và thường được ký hiệu là Bản mẫu:Math, ký hiệu này được giới thiệu bởi John Frederick William Herschel trong 1813.

Hàm Bản mẫu:Mvar khả nghịch khi và chỉ khi nó là song ánh, bởi điều kiện $g(f(x))=x$ với mọi $x\in X$ sẽ suy ra Bản mẫu:Mvar là đơn ánh và điều kiện $f(g(y))=y$ với mọi $y\in Y$ suy ra Bản mẫu:Mvar là toàn ánh.

Hàm ngược Bản mẫu:Math của Bản mẫu:Mvar có thể biểu diễn như sau

$f^{-1}(y)=(\text{phần tử duy nhất }x\in X\text{ sao cho }f(x)=y)$.

Bản mẫu:AnchorNghịch đảo và hợp

Nhắc lại rằng nếu Bản mẫu:Mvar là hàm khả nghịch với miền Bản mẫu:Mvar và đối miền Bản mẫu:Mvar, thì

$f^{-1}(f(x))=x$, với mọi $x\in X$ và $f(f^{-1}(y))=y$ với mọi $y\in Y$.

Sử dụng phép hợp hàm, phát biểu trên có thể viết lại thành phương trình của các hàm số:

$f^{-1}\circ f={\mathrm{id}}_X$ và $f\circ f^{-1}={\mathrm{id}}_Y,$

trong đó Bản mẫu:Math là hàm đồng nhất trên tập Bản mẫu:Mvar; tức là hàm số không thay đổi giá trị đầu vào. Trong lý thuyết phạm trù, phát biểu này có thể dùng làm định nghĩa cho cấu xạ nghịch đảo.

Xét phép hợp hàm giúp ta hiểu ký hiệu Bản mẫu:Math. Hàm được lấy bằng cách hợp liên tục hàm Bản mẫu:Math với chính nó được gọi là hàm lặp. Nếu Bản mẫu:Mvar được lặp lại Bản mẫu:Mvar lần, bắt đầu từ giá trị Bản mẫu:Mvar, thì ta có thể viết là Bản mẫu:Math; ví dụ, Bản mẫu:Math, v.v... Bởi Bản mẫu:Math, Hợp của Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math sẽ ra Bản mẫu:Math, "hoàn tác" lại một lần lặp của hàm Bản mẫu:Mvar.

Ký hiệu

Ký hiệu Bản mẫu:Math thực ra có thể hiểu nhầm bởi Bản mẫu:Math còn có thể hiểu là nghịch đảo phép nhân của hàm Bản mẫu:Math chứ không phải là nghịch đảo của Bản mẫu:Mvar.Do vậy , ký hiệu $f^{⟨-1⟩}$ có thể được dùng thay thế cho hàm ngược để không bị nhầm lẫn với ký hiệu nghịch đảo phép nhân.

Thật vậy, để giữ và dùng chung ký hiệu này, một số tác giả người Anh đã viết các biểu thức như Bản mẫu:Math để ký hiệu hàm ngược của hàm sin cho Bản mẫu:Mvar (thực ra là nghịch đảo riêng phần; xem dưới).Song, nhiều tác giả khác nhận thấy các biểu thức này dễ nhầm lẫn với nghịch đảo phép nhân của Bản mẫu:Math, mặc dù có thể ký hiệu là Bản mẫu:Math. Để tránh bất cứ hiểu nhầm nào, hàm lượng giác ngược thường được ký hiệu bằng cách thêm tiền tố "arc" (trong Latin: Bản mẫu:Lang). Ví dụ chẳng hạn, nghịch đảo của hàm sin thường sẽ được viết là hàm arcsin hay Bản mẫu:Math. Tương tự như vậy, nghịch đảo của các hàm hyperbol được ký hiệu bằng cách thêm tiền tố "ar" (trong Latin: Bản mẫu:Lang). Lấy ví dụ, nghịch đảo của hàm sin hyperbol được viết là Bản mẫu:Math. Tuy nhiên, ký hiệu Bản mẫu:Math vẫn có thể được dùng khi phân biệt giữa nghịch đảo đa giá trị với nghịch đảo riêng phần: ${\sin }^{-1}(x)=\{(-1{)}^k\arcsin (x)+\pi n:n\in \mathbb{Z}\}$. Các hàm ngược đặc biệt đôi khi được ký hiệu bằng cách thêm tiền tố "inv" (inverse, hay nghịch đảo), nếu ta cần phải phân biệt ký hiệu Bản mẫu:Math

Các ví dụ

Hàm bình phương và căn bậc hai

Hàm Bản mẫu:Math đưa bởi Bản mẫu:Math không phải đơn ánh vì $(-x{)}^2=x^2$ với mọi $x\in ℝ$. Do đó, Bản mẫu:Mvar không khả nghịch.

Nếu miền của hàm số trên giới hạn về các số thực không âm, tức là ta xét hàm $f:[0,\mathrm{\infty })\to [0,\mathrm{\infty });x\mapsto x^2$ với cùng định nghĩa như trên, thì hàm số này song ánh và do đó khả nghịch. Hàm ngược này được gọi là căn bậc hai (dương) và được ký hiệu là $x\mapsto \sqrt{x}$.

Một số hàm ngược khác

Bảng sau cho một số ví dụ về hàm ngược của một số hàm số:

Hàm Bản mẫu:Math	Hàm ngược Bản mẫu:Math	Lưu ý
Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Math
Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Math
Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Sfrac	Bản mẫu:Math
Bản mẫu:Sfrac (tức là Bản mẫu:Math)	Bản mẫu:Sfrac (tức là Bản mẫu:Math)	Bản mẫu:Math
Bản mẫu:Math	$\sqrt{y}$ (tức là Bản mẫu:Math)	Chỉ khi Bản mẫu:Math
Bản mẫu:Math	$\sqrt[3]{y}$ (i.e. Bản mẫu:Math)
Bản mẫu:Math	$\sqrt[p]{y}$ (i.e. Bản mẫu:Math)	Bản mẫu:Math nếu Bản mẫu:Math là số chẵn; số nguyên Bản mẫu:Math
Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Math
Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Math
Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Math
Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math
Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math
Các hàm lượng giác	Các hàm lượng giác ngược	một số giới hạn (xem bảng dưới)
Các hàm hyperbol	Các hàm hyperbol ngược	một số giới hạn

Công thức hàm ngược

Nhiều hàm số đưa bởi công thức đại số có công thức cho hàm ngược của nó. Lý do là bởi $f^{-1}$ của hàm khả nghịch $f:ℝ\to ℝ$ có mô tả sau

$f^{-1}(y)=(\text{phần tử duy nhất }x\in ℝ\text{ sao cho }f(x)=y)$.

Điều này giúp cho ta có thể xác định nhiều công thức khả nghịch. Lấy ví dụ, nếu Bản mẫu:Mvar là hàm

$f(x)=(2x+8{)}^3$

thì để tìm $f^{-1}(y)$ cho số thực Bản mẫu:Mvar, ta cần tìm duy nhất một giá trị Bản mẫu:Mvar sao cho Bản mẫu:Math. Hay nói cách khác, ta cần giải phương trình sau:

$\begin{array}{cc}y& =(2x+8{)}^3\\ \sqrt[3]{y}& =2x+8\\ \sqrt[3]{y}-8& =2x\\ \frac{\sqrt[3]{y}-8}{2}& =x.\end{array}$

Do đó, hàm ngược Bản mẫu:Math có công thức sau

$f^{-1}(y)=\frac{\sqrt[3]{y}-8}{2}.$

Đôi khi, hàm ngược có thể sẽ không có công thức dạng đóng. Lấy ví dụ, nếu Bản mẫu:Mvar là hàm số

$f(x)=x-\sin x,$

thì Bản mẫu:Mvar là song ánh và do đó có hàm ngược Bản mẫu:Math. Công thức cho hàm số này được biểu diễn như sau:

$f^{-1}(y)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{y^{n/3}}{n!}\underset{\theta \to 0}{\lim }\left(\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}}{\mathrm{d}{\theta }^{n-1}}{\left(\frac{\theta }{\sqrt[3]{\theta -\sin (\theta )}}\right)}^n\right).$

Các tính chất

Bởi hàm số là một dạng đặc biệt của quan hệ hai ngôi, nhiều tính chất của hàm ngược có liên hệ với quan hệ ngược.

Tính duy nhất

Nếu tồn tại hàm ngược với hàm Bản mẫu:Mvar, thì hàm đó là duy nhất.

Tính đối xứng

Có đối xứng giữa hàm Bản mẫu:Mvar và nghịch đảo của nó {{math|f⁻¹. Chính xác hơn, nếu Bản mẫu:Mvar là hàm khả nghịch với miền Bản mẫu:Mvar và đối miền Bản mẫu:Mvar, thì nghịch đảo của nó Bản mẫu:Math có miền Bản mẫu:Mvar và ảnh Bản mẫu:Mvar, và nghịch đảo của Bản mẫu:Math là hàm gốc Bản mẫu:Mvar. Viết bằng ký hiệu cho hàm Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math như sau,

$f^{-1}\circ f={\mathrm{id}}_X$ và $f\circ f^{-1}={\mathrm{id}}_Y.$

Phát biểu này là hệ quả của việc để Bản mẫu:Mvar khả nghịch thì nó phải là song ánh. Bản chất chập của nghịch đảo có thể biểu diễn như sau

${\left(f^{-1}\right)}^{-1}=f.$

Nghịch đảo của Bản mẫu:Math là Bản mẫu:Math.

Nghịch đảo của hợp hàm là

$(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.$

Để ý rằng thứ tự của Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar được đổi cho nhau; để lấy ngược lại Bản mẫu:Mvar sau bởi Bản mẫu:Mvar, trước hết ta phải tính nghịch đảo Bản mẫu:Mvar, rồi mới đến Bản mẫu:Mvar.

Lấy ví dụ, gọi Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math. Khi đó hợp Bản mẫu:Math là hàm số đầu tiên nhân với ba rồi thêm năm,

$(g\circ f)(x)=3x+5.$

Để đảo ngược quá trình, ta cần phải trừ 5 trước rồi mới chia 3,

$(g\circ f{)}^{-1}(x)=\frac{1}{3}(x-5).$

Hàm tự nghịch đảo

Nếu Bản mẫu:Mvar là tập hợp, thì hàm đồng nhất trên Bản mẫu:Mvar là chính nghịch đảo của hàm đó:

${{\mathrm{id}}_X}^{-1}={\mathrm{id}}_X.$

Tổng quá hơn, hàm Bản mẫu:Math bằng với nghịch đảo của nó, khi và chỉ khi hợp hàm Bản mẫu:Math i bằng với Bản mẫu:Math. Các hàm như thế được gọi là phép chập.

Đồ thị của hàm ngược

The graphs of Bản mẫu:Math and Bản mẫu:Math. The dotted line is Bản mẫu:Math.

Nếu Bản mẫu:Mvar khả nghịch, đồ thị của hàm ngược của hàm

$y=f^{-1}(x)$

tương tự với đồ thị của hàm

$x=f(y).$

Hàm này tương tự với hàm Bản mẫu:Math định nghĩa đồ thị của Bản mẫu:Mvar, chỉ có điều vai trò Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Mvar đã bị đổi cho nhau been. Do đó, đồ thị của Bản mẫu:Math có thể thu được đồ thị của Bản mẫu:Mvar bằng cách đổi chỗ trục Bản mẫu:Mvar và trục Bản mẫu:Mvar. Điều này tương đương với phản xạ đồ thị qua đường Bản mẫu:Math.

Nghịch đảo và đạo hàm

Định lý hàm ngược phát biểu rằng hàm liên tục Bản mẫu:Mvar khả nghịch trên miền giá trị (ảnh) khi và chỉ khi nó đơn điệu (tức là không có cực trị. Lấy ví dụ, hàm

$f(x)=x^3+x$

khả nghịch, vì đạo hàm Bản mẫu:Math luôn dương.

Nếu hàm Bản mẫu:Mvar khả vi trên khoảng Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Math với mỗi Bản mẫu:Math, thì nghịch đảo Bản mẫu:Math khả vi trên Bản mẫu:Math. Nếu Bản mẫu:Math, đạo hàm của hàm ngược được đưa bởi định lý hàm ngược,

${\left(f^{-1}\right)}^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }\left(x\right)}.$

Sử dụng ký hiệu Leibniz, công thức trên viết lại thành:

$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}.$

Kết quả này cũng có thể lấy được từ quy tắc hàm hợp.

Định lý hàm ngược có thể tổng quát hoá cho các hàm nhiều biến. Chính xác hơn, các hàm nhiều biến Bản mẫu:Math khả nghịch trong lân cận của điểm Bản mẫu:Mvar khi ma trận Jacobi của Bản mẫu:Mvar tại Bản mẫu:Mvar là ma trận khả nghịch. Trong trường hợp này, ma trận Jacobi của Bản mẫu:Math tại Bản mẫu:Math là ma trận nghịch đảo của ma trận Jacobi của Bản mẫu:Mvar tại Bản mẫu:Mvar.

Các ví dụ trong đời thực

• Gọi Bản mẫu:Mvar hàm số đổi nhiệt độ trong thang độ Celsius sang nhiệt độ trong thang độ Fahrenheit, $F=f(C)=\frac{9}{5}C+32;$ Hàm ngược của nó đổi nhiệt độ Fahrenheit về độ Celsius, $C=f^{-1}(F)=\frac{5}{9}(F-32),$ bởi $\begin{array}{cc}{f}^{-1}(f(C))=& f^{-1}(\frac{9}{5}C+32)=\frac{5}{9}((\frac{9}{5}C+32)-32)=C,\\ & \text{với mọi giá trị của }C,\text{ và }\\ f(f^{-1}(F))=& f(\frac{5}{9}(F-32))=\frac{9}{5}(\frac{5}{9}(F-32))+32=F,\\ & \text{với mọi giá trị của }F.\end{array}$
• Giả sử Bản mẫu:Mvar gán mỗi đứa trẻ trong gia đình năm sinh của nó. Một hàm ngược nào đó của Bản mẫu:Mvar sẽ nhận đầu vào là năm sinh và đầu ra là đứa trẻ sinh năm đó. Tuy nhiên, nếu trong gia đình trong một năm có hai trẻ được sinh ra (ví dụ như sinh đôi, sinh ba, ...) thì giá trị của hàm số không thể biết được khi đầu vào là năm có nhiều hơn một đứa trẻ được sinh ra. Tương tự như vậy, nếu trong một năm mà không có đứa trẻ nào sinh ra, thì cũng không thể biết được giá trị hàm số. Tuy nhiên, nếu ta chỉ giới hạn về những năm có trẻ được sinh ra và giả sử rằng mỗi trẻ được sinh ra vào một năm khác nhau, thì chúng ta có hàm. Ví dụ chẳng hạn, $$\begin{array}{cccccc}f(\text{Allan})& =2005,& f(\text{Brad})& =2007,& f(\text{Cary})& =2001\\ f^{-1}(2005)& =\text{Allan},& f^{-1}(2007)& =\text{Brad},& f^{-1}(2001)& =\text{Cary}\end{array}$$
• Công thức tính độ pH của dung dịch là Bản mẫu:Math. Trong rất nhiều trường hợp, ta cần tính nồng độ axit từ độ pH. Khi đó, ta sẽ dùng hàm ngược Bản mẫu:Math.

Xem thêm

• Định lý nghịch đảo Lagrange, tìm khai triển Taylor của hàm nghịch đảo của hàm giải tích
• Nguyên hàm của hàm ngược
• Biến đổi Fourier ngược
• Tính toán ngược được

Thư mục

• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách

Đọc thêm

• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách

Liên kết ngoài

• Bản mẫu:Springer