Lớp kề

Bản mẫu:Mvar là nhóm Bản mẫu:Math, tức là tập các số nguyên mô đun 8 dưới phép cộng.Nhóm con Bản mẫu:Mvar chỉ chứa 0 và 4. Có bốn lớp kề của Bản mẫu:Mvar: chính Bản mẫu:Mvar, Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math, và Bản mẫu:Math (viết dùng ký hiệu phép cộng vì đây là nhóm cộng). Chúng cùng nhau phân hoạch tập Bản mẫu:Mvar thành các tập có kích thước như nhau và không giao nhau. Chỉ số Bản mẫu:Math bằng 4.

Trong toán học, đặc biệt là trong lý thuyết nhóm, nhóm con Bản mẫu:Mvar của nhóm Bản mẫu:Mvar có thể dùng để tách tập của nhóm Bản mẫu:Mvar thành các tập hợp con không giao nhau và có kích thước bằng nhau được gọi là lớp kề (hay còn gọi là lớp ghép). Có hai loại lớp là lớp kề trái và lớp kề phải. Các lớp kề (cả trái và phải) đều có cùng số phần tử (lực lượng) với Bản mẫu:Mvar. Hơn nữa, Bản mẫu:Mvar còn vừa là lớp kề trái vừa là lớp kề phải của chính nó. Số các lớp kề trái của Bản mẫu:Mvar trong Bản mẫu:Mvar bằng với số các lớp kề phải của Bản mẫu:Mvar trong Bản mẫu:Mvar.Giá trị này được gọi là chỉ số của Bản mẫu:Mvar trong Bản mẫu:Mvar và thường được ký hiệu là Bản mẫu:Math.

Lớp kề là một trong những công cụ cơ bản để nghiên cứu lý thuyết nhóm; ví dụ chẳng hạn, nó đóng vai trò quan trọng định lý Lagrange phát biểu rằng cho bất kỳ nhóm hữu hạn Bản mẫu:Mvar và bất kỳ nhóm con Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Mvar, số phần tử của Bản mẫu:Mvar chia hết cho số phần tử của Bản mẫu:Mvar. Lớp kề của một loại nhóm đặc biệt (nhóm con chuẩn tắc) có thể dùng làm phần tử của một nhóm khác được gọi là nhóm thương (hay còn gọi là nhóm nhân tử). Lớp kề còn xuất hiện trong các nhánh khác của toán học như không gian vectơ và mã sửa lỗi.

Định nghĩa

Gọi Bản mẫu:Mvar là nhóm con của nhóm Bản mẫu:Mvar có phép toán được viết theo phép nhân (đứng kề nhau). Cho phần tử Bản mẫu:Mvar thuộc Bản mẫu:Mvar, các lớp kề trái của Bản mẫu:Mvar trong Bản mẫu:Mvar là các tập thu được bằng cách nhân từng phần tử thuộc Bản mẫu:Mvar bằng một phần tử cố định Bản mẫu:Mvar thuộc Bản mẫu:Mvar (ở đây Bản mẫu:Mvar là nhân tử trái). VIết bằng ký hiệu như sau:, Bản mẫu:Block indent Các lớp kề phải được định nghĩa tương tựa, chỉ thay ở chỗ Bản mẫu:Mvar bây giờ là nhân tử phải, có nghĩa là, Bản mẫu:Block indent

Bởi Bản mẫu:Mvar là giá trị tùy ý trong nhóm, nên sẽ dễ bị lầm tưởng rằng sẽ có nhiều lớp kề (trái hoặc phải) được sinh ra. Song, qua chứng minh, ta nhận ra bất kỳ hai lớp kề trái (hoặc tương ứng hai lớp kề phải) hoặc không giao nhau hoặc bằng nhau.

Nếu phép toán nhóm viết bằng phép cộng thì có thể đổi ký hiệu ở trên thành Bản mẫu:Math hoặc Bản mẫu:Math, tương ứng.

Ví dụ đầu

Gọi Bản mẫu:Mvar là nhóm nhị diện cấp 6. Các phần tử của nó được biểu diễn bởi tập Bản mẫu:Math. Trong nhóm này, Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math. Bằng này đủ thông tin để điền toàn bộ bảng Cayley:

∗	Bản mẫu:Mvar	Bản mẫu:Mvar	Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Mvar	Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Math
Bản mẫu:Mvar	Bản mẫu:Mvar	Bản mẫu:Mvar	Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Mvar	Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Math
Bản mẫu:Mvar	Bản mẫu:Mvar	Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Mvar	Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Mvar
Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Mvar	Bản mẫu:Mvar	Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Mvar	Bản mẫu:Math
Bản mẫu:Mvar	Bản mẫu:Mvar	Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Mvar	Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Mvar
Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Mvar	Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Mvar	Bản mẫu:Mvar	Bản mẫu:Math
Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Mvar	Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Mvar	Bản mẫu:Mvar

Gọi Bản mẫu:Mvar là nhóm con Bản mẫu:Math. Các lớp kề trái (phân biệt) của Bản mẫu:Mvar là:

• Bản mẫu:Math,
• Bản mẫu:Math, và
• Bản mẫu:Math.

Bởi tất cả phần tử của Bản mẫu:Mvar đều đã có xuất hiện trong một trong các lớp kề này. Nên dù có sinh thêm cũng sẽ không tạo ra thêm lớp kề mới, bởi lớp kề mới sẽ có một phần tử chung với một trong các lớp kề này và do đó bằng với lớp kề đó. Ví dụ chẳng hạn, Bản mẫu:Math.

Các lớp kề phải của Bản mẫu:Mvar là:

• Bản mẫu:Math,
• Bản mẫu:Math , và
• Bản mẫu:Math.

Trong ví dụ này, ngoại trừ Bản mẫu:Mvar ra, không có lớp kề trái nào đồng thời là lớp kề phải cả.

Gọi Bản mẫu:Mvar là nhóm con Bản mẫu:Math. Các lớp kề trái của Bản mẫu:Mvar là Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math. Các lớp kề phải của Bản mẫu:Mvar là Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math. Trong trường hợp này, mọi lớp kề trái của Bản mẫu:Mvar cũng là lớp kề phải của Bản mẫu:Mvar.

Gọi Bản mẫu:Math là nhóm con của Bản mẫu:Math và ta giả sử rằng Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math. Khi đó, các mệnh đề sau tương đương với nhau:

• Bản mẫu:Math
• Bản mẫu:Math
• Bản mẫu:Math
• Bản mẫu:Math
• Bản mẫu:Math

Các tính chất

Tính chất không giao nhau của các lớp kề được chứng minh từ ý tưởng rằng nếu Bản mẫu:Mvar thuộc Bản mẫu:Math thì Bản mẫu:Math. Thật vậy, nếu Bản mẫu:Math thì phải tồn tại Bản mẫu:Math sao cho Bản mẫu:Math. Do đó Bản mẫu:Math. Song, vì Bản mẫu:Math là một nhóm nên phép nhân trái bởi Bản mẫu:Mvar là song ánh và Bản mẫu:Math.

Do vậy mỗi phần tử thuộc Bản mẫu:Math chỉ nằm trong duy nhất một lớp kề trái của nhóm con Bản mẫu:Math, và Bản mẫu:Math cũng là lớp kề trái của chính nó (đồng thời là lớp kề chứa phần tử đơn vị).

Từ đây ta có thể định nghĩa quan hệ tương đương "cùng một lớp kề trái" giữa hai phần tử trong nhóm. Nói rõ ra là, cho phần tử Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Mvar, và gọi chúng là tương đương nhau tương ứng với nhóm con Bản mẫu:Mvar khi Bản mẫu:Math (hoặc khi Bản mẫu:Math thuộc Bản mẫu:Mvar). Các lớp tương đương của quan hệ này các lớp kề trái của Bản mẫu:Mvar. Giống như mọi tập các lớp tương đương, các lớp tương đương này phân hoạch tập của nhóm G. Đại diện lớp kề là phần tử đại diện theo nghĩa lớp tương đương. Tập các phần tử đại diện của tất cả các lớp kề được gọi là đường ngang (transversal). Có một số loại quan hệ tương đương khác trong nhóm, ví dụ như liên hợp chẳng hạn, song những phần như vậy sẽ không được đề cập dưới đây vì chúng tạo các lớp tương đương hoàn toàn khác biệt với lớp kề.

Các nội dung ở trên áp dụng tương tự với lớp kề phải.

Nếu Bản mẫu:Math là nhóm giao hoán, thì Bản mẫu:Math với bất kỳ nhóm con Bản mẫu:Math của Bản mẫu:Math và mọi phần tử Bản mẫu:Mvar thuộc Bản mẫu:Math. Ngoài ra, cho phần tử Bản mẫu:Mvar và nhóm con Bản mẫu:Math của Bản mẫu:Math, lớp kề phải của Bản mẫu:Math tương ứng với Bản mẫu:Mvar đồng thời là lớp kè trái của nhóm con liên hợp Bản mẫu:Math tương ứng với Bản mẫu:Mvar, tức là, Bản mẫu:Math.

Nhóm con chuẩn tắc

Nhóm con Bản mẫu:Math của Bản mẫu:Math được gọi là nhóm con chuẩn tắc của Bản mẫu:Math khi và chỉ khi với tất cả các phần tử Bản mẫu:Mvar thuộc Bản mẫu:Math, các lớp kề trái và lớp kề phải tương ứng bằng nhau, nghĩa là Bản mẫu:Math. Đây là trường hợp của nhóm con Bản mẫu:Mvar ở ví dụ trên. Hơn nữa, các lớp kề của Bản mẫu:Math trong Bản mẫu:Math lập thành một nhóm được gọi là nhóm thương hay nhóm nhân tử Bản mẫu:Math.

Nếu Bản mẫu:Math không chuẩn tắc trong Bản mẫu:Math, thì các tập các lớp kề trái của nó khác với tập các lớp kề phải. Nghĩa là, tồn tại phần tử Bản mẫu:Mvar thuộc Bản mẫu:Math sao cho không có phần tử Bản mẫu:Mvar thỏa mãn Bản mẫu:Math. Điều này có nghĩa phân hoạch của Bản mẫu:Math thành các lớp kề trái của Bản mẫu:Math khác hoàn toàn với phân hoạch của Bản mẫu:Math thành các lớp kề phải của Bản mẫu:Math. Nhóm con Bản mẫu:Mvar ở ví dụ trên minh họa cho điều này. (Một số lớp kề có thể trùng nhau. Ví dụ chẳng hạn, khi Bản mẫu:Mvar nằm trong tâm của Bản mẫu:Math, thì Bản mẫu:Math.)

Mặt khác, nếu nhóm con Bản mẫu:Math là nhóm con chuẩn tắc, thì tập các lớp kề tạo thành một nhóm được gọi là nhóm thương Bản mẫu:Math cùng với phép toán Bản mẫu:Math được định nghĩa Bản mẫu:Math. Khi này mọi lớp kề trái cũng là lớp kề phải nên không cần phải phân biệt giữa "lớp kề trái" và "lớp kề phải".

Chỉ số của nhóm con

Bản mẫu:Main Mọi lớp kề (trái hoặc phải) của Bản mẫu:Math đều có cùng số phần tử (hoặc có cùng lực lượng trong trường hợp Bản mẫu:Math vô hạn) với Bản mẫu:Math. Hơn nữa, số lớp kề trái còn bằng số lớp kề phải, và số lượng này được gọi là chỉ số của Bản mẫu:Math trong G, ký hiệu là Bản mẫu:Math. Định lý Lagrange cho phép ta tính giá trị chỉ số khi cả G và H đều hữu hạn: $$|G|=[G:H]|H|.$$Phương trình này vẫn đúng khi có nhóm vô hạn, song ý nghĩa của nó có thể chưa rõ (chẳng hạn như,nhóm G và H có thể vô hạn nhưng chỉ số của nhóm H có thể hữu hạn, như ở ví dụ số nguyên dưới đây)

Các ví dụ khác

Số nguyên

Gọi Bản mẫu:Math là nhóm cộng của các số nguyên, Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math là nhóm con Bản mẫu:Math. Khi đó các lớp kề của Bản mẫu:Math trong Bản mẫu:Math là ba tập hợp Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math, và Bản mẫu:Math, và Bản mẫu:Math. Ba tập hợp này phân hoạch tập Bản mẫu:Math, nên không có lớp kề phải nào khác của Bản mẫu:Mvar. Do tính giao hoán của phép cộng nên Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math. Nghĩa là mọi lớp kề trái của Bản mẫu:Mvar cũng là lớp kề phải, do vậy Bản mẫu:Mvar là nhóm con chuẩn tắc. (ta có thể dùng cách luận này để chứng minh mọi nhóm con của nhóm giao hoán đều chuẩn tắc)

Ví dụ này có thể tổng quát hóa thành như sau. Cho Bản mẫu:Math vẫn là nhóm cộng các số nguyên, Bản mẫu:Math, và giờ gọi Bản mẫu:Math là nhóm con Bản mẫu:Math, trong đó Bản mẫu:Mvar là số nguyên dương. Khi đó các lớp kề của Bản mẫu:Math trong Bản mẫu:Math là Bản mẫu:Mvar tập hợp Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math, ..., Bản mẫu:Math, trong đó Bản mẫu:Math. Không có nhiều hơn Bản mẫu:Mvar lớp kề, bởi vì Bản mẫu:Math. Lớp kề Bản mẫu:Math là lớp đồng dư của Bản mẫu:Mvar modulo Bản mẫu:Mvar. Nhóm con Bản mẫu:Math chuẩn tắc trong Bản mẫu:Math, do vật có thể lập thành nhóm thương Bản mẫu:Math, nhóm các số nguyên modulo m.

Vectơ

Một ví dụ khác đến từ lý thuyết của các không gian vectơ. Các phần tử (vectơ) của không gian vectơ tạo thành nhóm giao hoán dưới phép cộng vectơ. Các không gian con của không gian vectơ là các tập con của nhóm này. Cho không gian vectơ Bản mẫu:Math, không gian con Bản mẫu:Math, và một vectơ cố định Bản mẫu:Math trong Bản mẫu:Math, các tập hợp $$\{𝐱\in V\mid 𝐱=𝐚+𝐰,𝐰\in W\}$$ được gọi là không gian affin, và là lớp kề (cả trái và phải, bởi nhóm có giao hoán). Khi nói theo các vectơ 3 chiều trong hinh học, các không gian affin này được gọi được gọi là các "đường" hoặc "mặt phẳng" song song với không gian con là đường hoặc mặt phẳng tương ứng đi qua gốc tọa độ. Lấy ví dụ, xét mặt phẳng Bản mẫu:Math. Nếu Bản mẫu:Mvar là đường thẳng đi qua gốc tọa độ Bản mẫu:Mvar, thì Bản mẫu:Mvar là nhóm con của nhóm abel Bản mẫu:Math. Nếu Bản mẫu:Mvar nằm trong Bản mẫu:Math, thì lớp kề Bản mẫu:Math là đường Bản mẫu:Math song song với Bản mẫu:Mvar và chạy qua Bản mẫu:Mvar.

Ma trận

Gọi Bản mẫu:Mvar là nhóm nhân các ma trận vuông sau,

$G=\{\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ b& 1\end{array}\right]:a,b\in ℝ,a\ne 0\},$

và nhóm con Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Mvar,

$H=\{\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ c& 1\end{array}\right]:c\in ℝ\}.$

Cho một phần tử cố định thuộc Bản mẫu:Mvar, xét lớp kề trái

$\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ b& 1\end{array}\right]H=& \{\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ b& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ c& 1\end{array}\right]:c\in ℝ\}\\ =& \{\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ b+c& 1\end{array}\right]:c\in ℝ\}\\ =& \{\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ d& 1\end{array}\right]:d\in ℝ\}.\end{array}$

Nghĩa là, các lớp kề trái chứa tất cả các ma trận trong Bản mẫu:Mvar có cùng phần tử góc trên bên trái. Nhóm con Bản mẫu:Mvar chuẩn tắc trong Bản mẫu:Mvar, nhưng nhóm con sau

$T=\{\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& 1\end{array}\right]:a\in ℝ-\{0\}\}$

thì không chuẩn tắc trong Bản mẫu:Mvar.

Quỹ đạo của tác động nhóm

Nhóm con Bản mẫu:Mvar của nhóm Bản mẫu:Mvar có thể dùng để định nghĩa tác động của Bản mẫu:Mvar trên Bản mẫu:Mvar theo hai cách tự nhiên sau. Tác động phải, Bản mẫu:Math cho bởi Bản mẫu:Math hoặc tác động trái, Bản mẫu:Math cho bởi Bản mẫu:Math. Quỹ đạo của Bản mẫu:Mvar dưới tác động phải là lớp kề trái Bản mẫu:Mvar, trong khi quỹ đạo dưới tác động trái là lớp kề phải Bản mẫu:Mvar.

Lịch sử

Khái niệm của lớp kề đã có từ các bài của Galois năm 1830–31. Ông giới thiệu ký hiệu mới nhưng chưa đưa ra cái tên cho khái niệm. Thuật ngữ "co-set" (coset, tức lớp kề) xuất hiện ban đầu vào năm 1910 trong bài viết của G. A. Miller trong tạp chí Quarterly Journal of Mathematics (vol. 41, tr. 382). Có nhiều tên gọi được dùng khác bao gồm cả tiếng Đức Nebengruppen (Weber) và nhóm liên hợp (Burnside).

Galois lúc đó đang giải bài toán quyết định xem liệu một phương trình đa thức có thể giải bằng căn được không. Một trong những công cụ ông phát triển thành công là nhờ để ý nhóm con Bản mẫu:Mvar của các nhóm phép thế Bản mẫu:Mvar cảm sinh ra hai phân tích của Bản mẫu:Mvar (nay ta gọi đó là lớp kề trái và lớp kề phải). Nếu hai phép phân tích tương đồng nhau, tức là nếu các lớp kề trái giống các lớp kề phải, thì có cách để rút gọn bài toán về với Bản mẫu:Mvar thay vì Bản mẫu:Mvar. Camille Jordan trong lúc dẫn giải các công trình của Galois năm 1865 và 1869, đã dựng lên ý tưởng lớp kề và định nghĩa các nhóm con chuẩn tắc như ta có ngày nay, mặc dù ông không dùng thuật ngữ đó.

Mặc dù cách gọi lớp kề Bản mẫu:Mvar là lớp kề trái của Bản mẫu:Mvar tương ứng với Bản mẫu:Mvar, là cách gọi hay gặp ngày nay, vào thời gian lúc đó nó vẫn chưa được phổ quát. Ví dụ chẳng hạn, Bản mẫu:Harvtxt vẫn gọi Bản mẫu:Mvar lớp kề phải, nhấn mạnh vị trí của nhóm con nằm ở bên phải.

Ứng dụng từ lý thuyết mã hóa

Bản mẫu:Main Mã nhị phân tuyến tính là không gian con Bản mẫu:Mvar chiều Bản mẫu:Mvar của không gian vectơ Bản mẫu:Mvar chiều Bản mẫu:Mvar trên trường nhị phân Bản mẫu:Math. BỞi Bản mẫu:Mvar là nhóm cộng giao hoán, Bản mẫu:Mvar là nhóm con của nhóm này. Ta dùng mã để sửa sai các lỗi có thể xảy ra khi truyền thông tin. Khi từ mã (một phần tử thuộc Bản mẫu:Mvar) được truyền đi, một số bit của nó thể bị đổi quá trình chuyển, khi đó nhiệm vụ của bên nhận là phải xác định tốt nhất từ mã gốc từ từ mã nhận được. Thủ tục này được gọi là giải mã nếu số lỗi được tạo ra rất ít trong quá trình truyền tin, khi đó toàn bộ thủ tục sẽ được thực hiện với rất ít sai sót, Một phương pháp cho giải mãbbao gồm sắp xếp các phần tử của Bản mẫu:Mvar (từ nhận được là phần tử bất kỳ của Bản mẫu:Mvar) thành mảng tiêu chuẩn. Mảng tiêu chuẩn là phân tích các lớp kề của Bản mẫu:Mvar thành dạng bảng theo một cách nào đó. Thường là, hàng đầu tiên của mảng chứa các phần tử của Bản mẫu:Mvar, thứ tự thì có thể viết tùy ý, song "vectơ không" thì nên được viết trước, sau đó là một phần tử thuộc Bản mẫu:Mvar chứa tối thiểu số bit 1 không xuất hiện trong hàng được chọn đầu tiên và lớp kề của Bản mẫu:Mvar chứa phần tử đó được viết thành hàng thứ hai (tức là hàng sau bằng cách lấy tổng phần tử này với mỗi phần tử của Bản mẫu:Mvar ở ngay trên đó). Phần tử đó được gọi là phần tử dẫn đầu lớp kề, và có thể cần lựa chọn khi xác định nó). Sau đó tiến trình được lặp lại, tiếp tục chọn một vectơ mới có tổi thiểu số bit 1 chưa xuất hiện trước đó làm dẫn đầu lớp kề và lập lớp kề của Bản mẫu:Mvar chứa nó làm hàng tiếp theo. Quá trình kết thúc khi tất cả các vectơ của Bản mẫu:Mvar đã được xếp vào tứng lớp kề.

Ví dụ mảng tiêu chuẩn của mã hai chiều Bản mẫu:Math trong không gian 5 chiều Bản mẫu:Mvar (cùng 32 vectơ) là bảng sau:

00000	01101	10110	11011
10000	11101	00110	01011
01000	00101	11110	10011
00100	01001	10010	11111
00010	01111	10100	11001
00001	01100	10111	11010
11000	10101	01110	00011
10001	11100	00111	01010

Thủ tục giải mã sẽ tìm từ nhận được trong bảng rồi sau đó cộng với nó với phần tử dẫn đầu lớp kề. Trong các phép nhị phân, phép cộng tương tự với phép trừ cho nên kết quả luôn ra một phần tử của Bản mẫu:Mvar. Trong trường hợp các lỗi truyền tin xảy ra ở các vị trí khác không của phần tử dẫn đầu lớp kề thì kết quả thu về được sẽ là từ mã đúng. Trong trường hợp này, nếu chỉ có một lỗi xảy ra thì phương pháp sẽ luôn sửa sai cho nó, bởi tất cả phần tử dẫn đầu lớp kề có một bit 1 đều xuất hiện trong mảng.

Lớp kề đôi

Bản mẫu:Main Cho hai nhóm con, Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math (không nhất thiết phải phân biệt) của nhóm Bản mẫu:Math, lớp kề đôi của Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math trong Bản mẫu:Math là các tập hợp dưới dạng Bản mẫu:Math. Đây là lớp kề trái của Bản mẫu:Math và là lớp kề phải của Bản mẫu:Math khi Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math tương ứng. Lớp kề đôi còn được gọi là lớp ghép đôi.

Lớp kề đôi Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math hoặc không giao nhau hoặc bằng nhaul. Tập các lớp kề đôi cho Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar cho trước lập thành phân hoạch của Bản mẫu:Mvar.

Lớp kề đôi Bản mẫu:Math chứa đầy đủ lớp kề phải của Bản mẫu:Mvar (trong Bản mẫu:Mvar) dưới dạng Bản mẫu:Math, với Bản mẫu:Mvar thuộc Bản mẫu:Mvar và đầy đủ lớp kề trái của Bản mẫu:Mvar (trong Bản mẫu:Mvar) dưới Bản mẫu:Math, với Bản mẫu:Mvar thuộc Bản mẫu:Mvar.

Các ứng dụng khác

• Các lớp kề của Bản mẫu:Math trong Bản mẫu:Math được dùng để xây các tập hợp Vitali, một loại tập không đo được.
• Lớp kề được dùng để định nghĩa khái niệm chuyển trong lý thuyết nhóm.
• Lớp kề rất quan trọng trong lý thuyết nhóm tính toán. Ví dụ chẳng hạn, Thuật toán Thistlethwaite cho giải khối Rubik dựa chủ yếu vào các lớp kề.
• Trong hình học, dạng Clifford–Klein là không gian lớp kề đôi Bản mẫu:Math, trong đó Bản mẫu:Math là nhóm Lie khả quy, Bản mẫu:Math là nhóm con đóng, và Bản mẫu:Math là nhóm con rời rạc (của Bản mẫu:Math) tác động chân chính và không liên tục trên không gian thuần nhất Bản mẫu:Math.

Xem thêm

• Heap
• Liệt kê lớp kề

Tham khảo

• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation

Đọc thêm

• Bản mẫu:Citation

Liên kết ngoài

• Bản mẫu:MathWorld
• Bản mẫu:MathWorld
• Bản mẫu:MathWorld
• Bản mẫu:Springer
• Bản mẫu:PlanetMath
• Illustrated examples
• Bản mẫu:Chú thích web