Trường (đại số)

Từ testwiki
Bước tới điều hướng Bước tới tìm kiếm

Bản mẫu:Bài cùng tên

Hình thất giác đều không thể dựng được thước kẻ và compa; Điều này có thể chứng minh sử dụng trường của số dựng được.

Bản mẫu:Cấu trúc đại số

Trong toán học, một trường là một tập hợp mà trên đó các phép cộng, trừ, nhân, chia được định nghĩa, và có tính chất như những phép tính trên số hữu tỉ và số thực. Một trường như vậy là một cấu trúc đại số cơ bản, được sử dụng rộng rãi trong đại số, lý thuyết số và nhiều ngành khác trong toán học.

Những trường thông dụng nhất là trường số hữu tỉ, trường số thực và trường số phức. Nhiều trường khác, như trường hàm phân thức, trường hàm đại số, trường số đại số, và trường p-adic cũng được sử dụng và nghiên cứu thường xuyên, cụ thể trong lý thuyết số và hình học đại số. Hầu hết giao thức mật mã dựa trên trường hữu hạn, tức là trường có hữu hạn phần tử.

Mối liên hệ giữa hai trường được thể hiện qua một mở rộng trường. Lý thuyết Galois, khởi xướng bởi Évariste Galois trong những năm 1830, nghiên cứu về sự đối xứng của các mở rộng trường. Trong số những kết quả khác, lý thuyết này chứng minh được rằng việc chia ba một góc và cầu phương hình tròn không thể thực hiện được chỉ bằng thước thẳng và compa. Ngoài ra, nó cũng chỉ ra rằng phương trình bậc năm không thể giải được về mặt đại số.

Trường đóng vai trò là một khái niệm nền tảng trong một số ngành của toán học, bao gồm các nhánh của giải tích, sử dụng trường với những cấu trúc phụ. Những định lý cơ bản của giải tích dựa trên tính chất của trường số thực. Quan trọng hơn cả, bất kì trường nào đều có thể dùng làm vô hướng cho một không gian vectơ, là những đối tượng chính của đại số tuyến tính. Trường số đại số, người anh em họ của trường số hữu tỉ, được nghiên cứu trong lý thuyết số.

Định nghĩa

Về căn bản, một trường là một tập hợp, cùng với hai phép toán được định nghĩa trên tập đó: một phép cộng được viết là Bản mẫu:Math, và một phép nhân được viết là Bản mẫu:Math, cả hai đều có tính chất như với số hữu tỉ và số thực, bao gồm cả sự tồn tại của một nghịch đảo phép cộng Bản mẫu:Math cho mọi phần tử Bản mẫu:Mvar, và một nghịch đảo phép nhân Bản mẫu:Math cho mọi phần tử Bản mẫu:Mvar khác 0. Điều này cho ta những phép toán nghịch đảo bao gồm phép trừ Bản mẫu:Math, và phép chia Bản mẫu:Math, bằng cách định nghĩa:

Bản mẫu:Math,
Bản mẫu:Math.

Định nghĩa cổ điển

Đầy đủ hơn, một trường là một tập Bản mẫu:Mvar cùng với hai phép toán (còn gọi là luật hợp thành trong) gọi là phép cộng và phép nhân.[1] Một phép toán là một ánh xạ gán mỗi cặp phần tử trong tập hợp với một phần tử của nó. Kết quả của phép cộng Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math được gọi là tổng của Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math và ký hiệu là Bản mẫu:Math. Tương tự, kết quả của phép nhân Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math được gọi là tích của Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math, và ký hiệu bằng Bản mẫu:Math hoặc Bản mẫu:Math. Các phép toán này cần phai tuân thủ những tính chất sau, được gọi là các tiên đề trường. Trong những tiên đề dưới đây, Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math là những phần tử bất kỳ của trường Bản mẫu:Mvar.

Ta có thể tóm tắt lại như sau: một trường có hai phép toán là phép cộng và phép nhân; nó là một nhóm giao hoán dưới phép cộng, với 0 là đơn vị cộng; những phần tử khác 0 tạo thành một nhóm giao hoán dưới phép nhân, với 1 là đơn vị nhân; phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng.

Định nghĩa khác

Trường cũng có thể được định nghĩa theo những cách khác tương đương. Ta có thể định nghĩa trường bằng bốn phép toán hai ngôi (cộng, trừ, nhân, chia) và những tính chất của chúng. Chia cho không, theo định nghĩa, không được tính.[2] Để tránh việc sử dụng lượng tử tồn tại, trường có thể được định nghĩa với hai phép toán hai ngôi (cộng và nhân), hai phép toán một ngôi (cho ra nghịch đảo phép cộng và phép nhân), và hai phép toán rỗng (các hằng số Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math). Những phép toán này cần phải thỏa mãn những điều kiện trên. Tránh lượng tử tồn tại là một điều kiện quan trọng mang tính xây dựng và trong điện toán.[3] Một cách tương đương, ta có thể định nghĩa một trường bằng hai phép toán hai ngôi cộng và nhân, một phép toán một ngôi (nghịch đảo phép nhân) và hai hằng số Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math, vì Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math.[nb 1]

Ví dụ

Số hữu tỉ

Bản mẫu:Main Số hữu tỉ được sử dụng rộng rãi từ lâu trước khi khái niệm trường được đưa ra và xem xét chi tiết. Chúng là những số có thể viết dưới dạng phân số Bản mẫu:Math, với Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math là các số nguyên, và Bản mẫu:Math. Nghịch đảo phép cộng của một phân số như vậy là Bản mẫu:Math, và nghịch đảo phép nhân là (với điều kiện Bản mẫu:Math) là Bản mẫu:Math, do:

ba⋅ab=baab=1.

Những tiên đề trường trừu tượng trở thành các tính chất cơ bản của số hữu tỉ. Ví dụ, tính chất phân phối có thể được chứng minh như sau::[4]

ab⋅(cd+ef)=ab⋅(cd⋅ff+ef⋅dd)=ab⋅(cfdf+edfd)=ab⋅cf+eddf=a(cf+ed)bdf=acfbdf+aedbdf=acbd+aebf=ab⋅cd+ab⋅ef.

Số thực và phức

Phép nhân số phức có thể được biểu diễn hình học bằng phép quay và phóng to/thu nhỏ.

Bản mẫu:Main Tập số thực Bản mẫu:Math, cùng với các phép cộng và nhân, cũng tạo thành một trường. Tập số phức Bản mẫu:Math bao gồm các biểu thức

Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Math thực,

trong đó Bản mẫu:Math là đơn vị ảo, tức là một số (không thực) thỏa Bản mẫu:Math. Phép cộng và phép nhân của số thực được định nghĩa sao cho những biểu thức dạng này cũng thỏa tất cả tiên đề trường và vẫn áp dụng cho Bản mẫu:Math. Ví dụ, tính phân phối cho ta

Bản mẫu:Math

Rõ ràng biểu thức này cũng có dạng như trên, tức là số phức đóng dưới phép nhân. Tương tự ta có thể suy ra số phức tạo thành một trường. Số phức có thể được biểu diễn bằng hình học như các điểm trong mặt phẳng, với tọa độ Descartes là các số thực trong biểu thức của nó, hoặc sử dụng những mũi tên từ gốc tọa độ đến những điểm đó, xác định bởi độ dài và góc tạo bởi nó theo một hướng nhất định. Phép cộng khi ấy tương đương với kết hợp hai mũi tên theo hình bình hành (cộng các tọa độ Descartes), còn phép nhân tương đương với việc quay và phóng to hay thu nhỏ các mũi tên (cộng các góc và nhân chiều dài). Trường số thực và số phức được sử dụng trong cả toán học, vật lý, kỹ thuật, thống kê và nhiều lĩnh vực khoa học khác.

Số dựng được

Định lý trung bình nhân khẳng định rằng Bản mẫu:Math. Chọn Bản mẫu:Math cho ta dựng căn bậc hai của một số dựng được Bản mẫu:Mvar.

Bản mẫu:Main

Từ xưa, có nhiều bài toán hình học liên quan đến tính khả thi của việc dựng một số số chỉ bằng thước kẻ và compa. Ví dụ, người Hy Lạp không biết rằng không thể chia ba một góc bằng cách này. Những vấn đề này có thể được giải quyết sử dụng trường các số dựng được.[5] Những số thực dựng được, theo định nghĩa, là độ dài của những đoạn thẳng có thể dựng được từ hai điểm 0 và 1 trong hữu hạn bước chỉ sử dụng thước kẻ và compa. Những số này, cùng với các phép toán của số thực trên chúng, tạo thành một trường, trong đó bao hàm trường số hữu tỉ Bản mẫu:Math. Hình minh họa cho thấy cách dựng căn bậc hai của số dựng được, không nhất thiết thuộc Bản mẫu:Math. Sử dụng ký hiệu như trong hình, dựng một các đoạn thẳng Bản mẫu:Mvar, Bản mẫu:Mvar, và một nửa đường tròn có đáy Bản mẫu:Mvar (tâm đặt tại trung điểm Bản mẫu:Mvar), cắt đường thẳng qua Bản mẫu:Mvar vuông góc với Bản mẫu:Mvar tại điểm Bản mẫu:Mvar. Nếu độ dài của Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar lần lượt là Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Math thì độ dài đoạn Bản mẫu:Mvar là Bản mẫu:Math.

Không phải tất cả số thực đều dựng được. Ta có thể chứng minh rằng Bản mẫu:Math không phải là một số dựng được, nghĩa là không thể dựng độ dài cạnh một hình lập phương có thể tích là 2 bằng thước kẻ và compa, một bài toán được đưa ra bởi người Hy Lạp cổ đại.

Một trường với bốn phần tử

Phép cộng Phép nhân
+ Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Mvar
Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Color Bản mẫu:Color Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Mvar
Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Color Bản mẫu:Color Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Mvar
Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Mvar
Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Mvar
· Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Mvar
Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Color Bản mẫu:Color Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Mvar
Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Color Bản mẫu:Color Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Mvar
Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Mvar
Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Mvar

Ngoài những tập số quen thuộc như số hữu tỉ hay số thực, có những ví dụ của trường khác ít hiển nhiên hơn của. Ví dụ sau là một trường gồm có bốn phần tử là Bản mẫu:Mvar, Bản mẫu:Mvar, Bản mẫu:Mvar, và Bản mẫu:Mvar. Bản mẫu:Mvar đóng vai trò là đơn vị cộng (ký hiệu là 0 trong hệ tiên đề trên), và I là đơn vị nhân (ký hiệu là 1 trong hệ tiên đề trên). Những tiên đề trên có thể được kiểm chứng bằng một số lý thuyết trường, hoặc bằng tính toán trực tiếp. Ví dụ,

Bản mẫu:Math, bằng với Bản mẫu:Nowrap, như tính chất phân phối yêu cầu.

Trường này được gọi là trường hữu hạn với bốn phần tử, và được ký hiệu là Bản mẫu:Math hay Bản mẫu:Math.[6] Tập con chứa Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar (màu đỏ ở bảng bên) cũng là một trường, gọi là trường nhị phân Bản mẫu:Math hay Bản mẫu:Math. Trong khoa học máy tính và đại số Boole, Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar thường lần lượt đại diện cho false và true, phép cộng khi ấy được ký hiệu là XOR (exclusive or), và phép nhân ký hiệu là AND. Nói cách khác, cấu trúc của trường nhị phân là cấu trúc cơ bản cho phép tính toán với bit.

Khái niệm cơ bản

Trong phần này, Bản mẫu:Mvar ký hiệu một trường tùy ý và Bản mẫu:Math là những phần tử bất kỳ của Bản mẫu:Mvar.

Hệ quả từ định nghĩa

Ta có Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math.[7] Cụ thể, ta có thể suy ra nghịch đảo phép cộng của mọi phần tử ngay khi biết Bản mẫu:Math.

Nếu Bản mẫu:Math thì Bản mẫu:Math hoặc Bản mẫu:Math phải bằng 0. Thực vậy, nếu Bản mẫu:Math, thì Bản mẫu:Math. Điều này nghĩa là mọi trường là một miền nguyên.

Nhóm cộng và nhóm nhân của một trường Hình thất giác đều không thể dựng được thước kẻ và compa; Điều này có thể chứng minh sử dụng trường của số dựng được.

Các tiên đề của một trường Bản mẫu:Mvar chỉ rằng nó là một nhóm giao hoán dưới phép cộng. Nhóm này được gọi là nhóm cộng của trường, và đôi khi được kí hiệu là Bản mẫu:Math.

Tương tự, các phần tử khác 0 của Bản mẫu:Mvar tạo thành một nhóm giao hoán dưới phép nhân, gọi là nhóm nhân, và thường ký hiệu là Bản mẫu:Math hoặc Bản mẫu:Math} hay Bản mẫu:Math.

Từ đó, một trường có thể được định nghĩa là một tập Bản mẫu:Mvar với hai phép toán cộng và nhân sao cho Bản mẫu:Mvar là nhóm giao hoán dưới phép cộng, Bản mẫu:Math} là nhóm giao hoán dưới phép nhân (với 0 là đơn vị cộng), và phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng.[nb 2] Một số tính chất cơ bản của trường có thể được suy ra bằng những tính chất của nhóm. Ví dụ, nghịch đảo phép cộng và phép nhân Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math được xác định duy nhất bởi Bản mẫu:Math.

Từ đó ta suy ra Bản mẫu:Math, vì 1 là đơn vị của nhóm không chứa 0.[8] Do đó, vành không, chỉ chứa một phần tử, không phải là một trường.

Tất cả nhóm con hữu hản của nhóm nhân của một trường đều là cyclic (xem Bản mẫu:Slink).

Tính chất

Ngoài phép nhân hai phần tử của Bản mẫu:Mvar, ta có thể định nghĩa tích Bản mẫu:Math của phần tử Bản mẫu:Math bất kỳ của Bản mẫu:Mvar với một số nguyên dương Bản mẫu:Mvar là tổng Bản mẫu:Mvar số hạng là Bản mẫu:Math

Bản mẫu:Math

Nếu không tồn tại số nguyên dương nào sao cho

Bản mẫu:Math,

thì trường Bản mẫu:Mvar có đặc số 0.[9] Ví dụ, trường số hữu tỉ Bản mẫu:Math có đặc số 0 vì không có số nguyên dương Bản mẫu:Mvar nào bằng 0. Nếu tồn tại một số nguyên dương Bản mẫu:Mvar thỏa mãn phương trình trên thì nghiệm nhỏ nhất phải là số nguyên tố. Số này thường được ký hiệu là Bản mẫu:Mvar và khi ấy ta nói trường có đặc số Bản mẫu:Mvar. Trong ví dụ ở trên, trường Bản mẫu:Math có đặc số 2 vì Bản mẫu:Math.

Nếu Bản mẫu:Mvar có đặc số Bản mẫu:Mvar, thì Bản mẫu:Math với mọi Bản mẫu:Math thuộc Bản mẫu:Mvar. Nghĩa

Bản mẫu:Math,

Do tất cả hệ số nhị thức xuất hiện trong khai triển nhị thức đều chia hết cho Bản mẫu:Mvar. Ở đây, Bản mẫu:Math (Bản mẫu:Mvar nhân tử) là lũy thừa bậc Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Math. Do đó, ánh

Bản mẫu:Math

tương thích với phép cộng trong Bản mẫu:Mvar (và với phép nhân), do đó nó là một phép tự đồng cấu trường.[10] Sự tồn tại của đồng cấu này khiến trường đặc số Bản mẫu:Mvar có nhiều điểm khác với trường đặc số 0.

Trường con và trường nguyên tố

Một trường con Bản mẫu:Mvar của trường Bản mẫu:Mvar là một tập con của Bản mẫu:Mvar và là một trường đối với các phép toán của Bản mẫu:Mvar. Nói cách khác, Bản mẫu:Mvar là tập con của Bản mẫu:Mvar chứa Bản mẫu:Math, và đóng dưới phép cộng, phép nhân, nghịch đảo phép cộng và nghịch đảo phép nhân của một phần tử khác 0. Điều này nghĩa là Bản mẫu:Math, với mọi Bản mẫu:Math thì cả Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math cũng thuộc Bản mẫu:Mvar, với mọi Bản mẫu:Math thuộc Bản mẫu:Mvar, thì Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math đều thuộc Bản mẫu:Mvar.

Phép đồng cấu trường là một ánh xạ Bản mẫu:Math giữa hai trường sao cho

Bản mẫu:Math
Bản mẫu:Math
Bản mẫu:Math,

trong đó Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math là những phần tử bất kỳ của Bản mẫu:Mvar. Tất cả đồng cấu trường đều là đơn ánh.[11] Nếu Bản mẫu:Mvar cũng là toàn ánh, nó được gọi là phép đẳng cấu (hoặc trường Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar đẳng cấu).

Một trường được gọi là một trường nguyên tố nếu như nó không có trường con thực sự nào. Bất kỳ trường Bản mẫu:Mvar nào cũng chứa một trường nguyên tố, trường này là giao của tất cả trường con của Bản mẫu:Mvar. Nếu đặc số của Bản mẫu:Mvar là một số nguyên tố Bản mẫu:Mvar, trường nguyên tố đó đẳng cấu với trường hữu hạn Bản mẫu:Math ở dưới. Nếu không thì trường nguyên tố này đẳng cấu với Bản mẫu:Math.[12]

Trường hữu hạn

Bản mẫu:Main Trường hữu hạn (còn gọi là trường Galois) là những trường có hữu hạn số phần tử, số này gọi là bậc của trường đó. Trong ví dụ ở trên trường Bản mẫu:Math có bốn phần tử. Trường colà trường nhỏ nhất, do theo định nghĩa trường phải có ít nhất hai phần tử phân biệt Bản mẫu:Math.

1=?
Trong số học mô đun 12, 9 + 4 = 1 do 9 + 4 = 13 trong khi chia cho 12 có số dư là 1. Tuy nhiên, không phải là một trường do 12 không phải là số nguyên tố.

Trường hữu hạn đơn giản nhất, với bậc là số nguyên tố, có thể được xây dựng dựa trên số học mô đun. Với một số nguyên dương Bản mẫu:Mvar cho trước, số học "mô đun Bản mẫu:Mvar" nghĩa là làm việc với các số

Bản mẫu:Math

Phép cộng và nhân trên tập này được thực hiện như trên tập số nguyên Bản mẫu:Math, chia cho Bản mẫu:Mvar rồi lấy số dư là kết quả cuối cùng. Ta nhận được một trường khi và chỉ khi Bản mẫu:Mvar là một số nguyên tố. Ví dụ, lấy số nguyên tố Bản mẫu:Math cho ta trường Bản mẫu:Math ở trên. Với Bản mẫu:Math, hay tổng quát hơn, với mọi hợp số (tức là số Bản mẫu:Math có thể biểu diễn dưới dạng tích của hai số nhỏ hơn), Bản mẫu:Math không phải là một trường: tích của hai phần tử khác 0 có thể bằng không, như Bản mẫu:Math trong Bản mẫu:Math, do đó như đã giải thích ở trên, khiến Bản mẫu:Math không phải là một trường. Trường Bản mẫu:Math gồm Bản mẫu:Mvar phần tử (Bản mẫu:Mvar nguyên tố) được tạo theo cách này thường được kí hiệu là Bản mẫu:Math.

Mọi trường hữu hạn Bản mẫu:Mvar có Bản mẫu:Math phần tử, với Bản mẫu:Math là số nguyên tố và Bản mẫu:Math. Điều này có thể suy ra từ việc xem trường Bản mẫu:Mvar là một không gian vectơ trên trường nguyên tố của nó. Số chiều của không gian vectơ này là hữu hạn, giả sử là Bản mẫu:Mvar, từ đó suy ra biểu thức trên.[13]

Một trường với Bản mẫu:Math phần tử có thể xây dựng từ trường phân rã của đa thức:

Bản mẫu:Math.

Một trường phân rã như thế là một mở rộng của Bản mẫu:Math trong đó đa thức Bản mẫu:Mvar có Bản mẫu:Math nghiệm. Điều này nghĩa là Bản mẫu:Mvar có nhiều nghiệm nhất có thể do bậc của Bản mẫu:Mvar là Bản mẫu:Math. Với Bản mẫu:Math, có thể kiểm tra bằng tính toán rằng cả bốn phần tử của Bản mẫu:Math thỏa mãn phương trình Bản mẫu:Math, vậy nên chúng đều là nghiệm của Bản mẫu:Mvar. Mặt khác, trong Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Mvar chỉ có hai nghiệm (0 và 1), nên Bản mẫu:Mvar không phân tích ra thừa số bậc nhất trong trường này. Sử dụng những khái niệm khác trong lý thuyết trường, ta có thể chứng minh rằng hai trường hữu hạn có cùng bậc thì đẳng cấu.[14] Vì thế đôi khi trường hữu hạn với Bản mẫu:Math phần tử được nói chung, ký hiệu là Bản mẫu:Math hay Bản mẫu:Math.

Lịch sử

Trong lịch sử, có ba lĩnh vực đại số chính đã dẫn đến khái niệm của một trường: câu hỏi về việc giải phương trình đa thức, lý thuyết số đại số và hình học đại số.[15] Một bước tiến trong khái niệm về trường trong năm 1770 khi nhà toán học Joseph-Louis Lagrange để ý rằng hoán đổi các nghiệm Bản mẫu:Math của một đa thức bậc ba trong biểu thức

Bản mẫu:Math

(với Bản mẫu:Math là nghiệm đơn vị cấp 3) chỉ cho ra hai kết quả. Từ đó, Lagrange đã có thể giải thích được phương pháp tìm nghiệm của Scipione del Ferro và François Viète, trong đó phương trình bậc ba theo ẩn Bản mẫu:Mvar được rút gọn thành phương trình bậc hai theo Bản mẫu:Math.[16] Cùng với những quan sát tương tự cho phương trình bậc bốn, Lagrange đã liên kết được thứ mà sau này trở thành khái niệm trường và khái niệm nhóm.[17] Cũng trong năm 1770, Vandermonde, và sâu rộng hơn, Carl Friedrich Gauss, trong tác phẩm Disquisitiones Arithmeticae (1801), nghiên cứu phương trình

Bản mẫu:Math

với số Bản mẫu:Mvar nguyên tố và, sử dụng ngôn ngữ hiện đại, nhóm Galois cyclic tương ứng. Gauss chứng minh rằng một đa giác đều Bản mẫu:Mvar cạnh có thể dựng được nếu và chỉ nếu Bản mẫu:Math. Sử dụng các kết quả của Lagrange, Paolo Ruffini khẳng định (1799) rằng phương trình bậc năm không có nghiệm đại số, tuy nhiên lập luận của ông có lỗ hổng. Những lỗ hổng này được khắc phục bởi Niels Henrik Abel năm 1824.[18] Évariste Galois, năm 1832, đưa ra điều kiện cần và đủ để một phương trình đa thức giải được bằng đại số, bắt đầu cho lý thuyết Galois. Cả Abel và Galois đều sử dụng cái ngày nay gọi là trường số đại số, nhưng không nhận ra rõ ràng khái niệm một trường hay một nhóm.

Năm 1871 Richard Dedekind đưa ra từ tiếng Đức Körper, nghĩa là "cơ thể" hay "vật thể", cho một tập các số thực hoặc phức đóng dưới bốn phép toán số học. Từ tiếng Anh "field" được giới thiệu bởi Bản mẫu:Harvtxt.[19]

Bản mẫu:Quote

Năm 1881 Leopold Kronecker định nghĩa cái ông gọi là miền hữu tỉ, thực chất là trường các hàm phân thức theo hiện nay. Khái niệm của Kronecker không bao gồm trường các số đại số, nhưng mặt khác trừu tượng hơn định nghĩa của Dedekind do nó không giả sử gì về tính chất của các phần tử của một trường. Kronecker xem một trường như Bản mẫu:Math trừu tượng như trường hàm hữu tỉ Bản mẫu:Math. Trước đó, ví dụ của số siêu việt được biết từ công trình của Joseph Liouville năm 1844, đến khi Charles Hermite (1873) và Ferdinand von Lindemann (1882) lần lượt chứng minh sự siêu việt của Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Math.[20]

Định nghĩa rõ ràng đầu tiên của một trường do Bản mẫu:Harvtxt.[21] Cụ thể, định nghĩa của Heinrich Martin Weber bao gồm trường Fp. Giuseppe Veronese (1891) nghiên cứu trường của chuỗi lũy thừa chính quy, dẫn đến Bản mẫu:Harvtxt đưa ra trường số p. Bản mẫu:Harvtxt tổng hợp những kiến thức về trường đã có. Ông nghiên cứu những tính chất của trường và định nghĩa nhiều khái niệm trong lý thuyết trường. Phần lớn các định lý trong phần Lý thuyết Galois, Xây dựng trường và Khái niệm cơ bản đều có thể được tìm thấy trong công trình của Steinitz. Bản mẫu:Harvtxt liên hệ khái niệm của thứ tự trong trường, một lĩnh vực của giải tích, với những tính chất thuần đại số.[22] Emil Artin phát triển lại lý thuyết Galois từ năm 1928 đến năm 1942 mà không dựa vào định lý phần tử nguyên thủy.

Xây dựng trường

Xây dựng trường từ vành

Một vành giao hoán là một tập hợp, cùng với phép toán cộng và nhân, thỏa mãn tất cả tiên đề của trường, ngoại trừ việc tồn tại nghịch đảo phép nhân Bản mẫu:Math.[23] Ví dụ, tập số nguyên Bản mẫu:Math tạo thành một vành giao hoán, nhưng không phải một trường: nghịch đảo của một số nguyên Bản mẫu:Mvar không phải là một số nguyên, trừ khi Bản mẫu:Math.

Trong hệ thống cấp bậc các cấu trúc đại số, trường có thể được coi là vành giao hoán Bản mẫu:Mvar mà trong đó bất kỳ phần tử khác 0 nào đều là một đơn vị (nghĩa là chúng khả nghịch). Tương tự, trường là vành giao hoán với đúng hai ideal (ideal), Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Mvar. Trường cũng là vành giao hoán mà trong đó Bản mẫu:Math là ideal nguyên tố duy nhất.

Với một vành giao hoán Bản mẫu:Mvar, có hai cách để xây dựng một trường liên quan đến Bản mẫu:Mvar, hay hai cách để thay đổi Bản mẫu:Mvar sao cho mọi phần tử khác 0 đều khả nghịch: xây dựng trường các thương và xây dựng trường thặng dư. Trường các thương của Bản mẫu:Math là các số hữu tỉ Bản mẫu:Math, còn trường thặng dư của Bản mẫu:Math là các trường hữu hạn Bản mẫu:Math.

Trường các thương

Cho trước miền nguyên Bản mẫu:Mvar, trường các thương Bản mẫu:Math của nó được tạo từ thương số giữa hai phần tử của Bản mẫu:Mvar giống như Q được tạo từ các số nguyên. Chính xác hơn, phần tử của Bản mẫu:Math là phân số Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math thuộc Bản mẫu:Mvar, trong đó Bản mẫu:Math. Hai phân số Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math bằng nhau khi và chỉ khi Bản mẫu:Math. Các phép toán trên phân số hoạt động giống hệt như số hữu tỉ. Ví dụ,

ab+cd=ad+bcbd.

Không khó để chỉ ra rằng, nếu vành này là miền nguyên thì tập các thương tạo thành một trường.[24]

Trường Bản mẫu:Math các hàm phân thức trên một trường (hay miền nguyên) Bản mẫu:Mvar là trường các phân thức của vành đa thức Bản mẫu:Math. Truòng Bản mẫu:Math của chuỗi Laurent

∑i=k∞aixi (k∈ℤ,ai∈F)

trên một trường Bản mẫu:Mvar là trường các phân thức của vành Bản mẫu:Math của chuỗi lũy thừa hình thức (trong đó Bản mẫu:Math). Do bất kỳ chuỗi Laurent nào là một phân số của một chuỗi lũy thừa chia cho lũy thừa của Bản mẫu:Mvar (không như chuỗi lũy thừa bất kỳ), việc biểu diễn thành phân thức không quá quan trọng trong trường hợp này.

Trường thặng dư

Bản mẫu:Chính Ngoài trường các thương, nhúng Bản mẫu:Mvar bằng một đơn ánh vào một trường field, một trường có thể nhận được từ vành giao hoán Bản mẫu:Mvar bằng một toàn ánh lên trường Bản mẫu:Mvar. Bất kỳ trường nào nhận được bằng cách này là một vành Bản mẫu:Math, trong đó Bản mẫu:Math là ideal cực đại của Bản mẫu:Mvar. Nếu Bản mẫu:Mvar chỉ có một ideal cực đại Bản mẫu:Math, trường này được gọi là trường thặng dư của Bản mẫu:Mvar.[25]

Ideal sinh ra bởi một đa thức Bản mẫu:Mvar trong vành đa thức Bản mẫu:Math (trên trường Bản mẫu:Mvar) là cực đại khi và chỉ khi Bản mẫu:Mvar bất khả quy trong Bản mẫu:Mvar, tức Bản mẫu:Mvar không thể biểu diễn thành tích của hai đa thức trong Bản mẫu:Math có bậc nhỏ hơn. Điều này cho ta trường

Bản mẫu:Math

Trường Bản mẫu:Mvar này chứa phần tử Bản mẫu:Mvar (lớp thặng dư của Bản mẫu:Mvar) thỏa mãn phương trình

Bản mẫu:Math.

Ví dụ, Bản mẫu:Math nhận được từ Bản mẫu:Math bằng cách thêm đơn vị ảo Bản mẫu:Mvar, thỏa mãn Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Math. Thêm nữa, Bản mẫu:Mvar bất khả quy trên Bản mẫu:Math, nghĩa là ánh xạ biến một đa thức Bản mẫu:Math thành Bản mẫu:Math cho ta phép đẳng cấu

𝐑[X]/(X2+1) ⟶≅ 𝐂.

Xây dựng trường từ một trường lớn hơn

Trường có thể được dựng trong một trường cho trước lớn hơn. Giả sử trường Bản mẫu:Mvar chứa Bản mẫu:Mvar là trường con. Với mọi phần tử Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Mvar, tồn tại một trường con nhỏ nhất của Bản mẫu:Mvar chứa Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar, gọi là trường con của Bản mẫu:Mvar tạo bởi Bản mẫu:Mvar và ký hiệu là Bản mẫu:Math.[26] Việc chuyển từ Bản mẫu:Mvar sang Bản mẫu:Math được gọi là thêm một phần tử cho Bản mẫu:Mvar. Tổng quát, với một tập con Bản mẫu:Math, tồn tại một trường con nhỏ nhất của Bản mẫu:Mvar chứa Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar, ký hiệu là Bản mẫu:Math.

Compositum của hai trường con Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Math của một trường Bản mẫu:Mvar là trường con nhỏ nhất chứa cả Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Math. Compositum có thể dùng để dựng trường con lớn nhất của Bản mẫu:Mvar thỏa mãn một số tính chất nào đó, ví dụ như trường con lớn nhất của Bản mẫu:Mvar đại số trên Bản mẫu:Mvar.[nb 3]

Mở rộng trường

Bản mẫu:Main Khái niệm trường con Bản mẫu:Math cũng có thể được xem xét từ góc nhìn đối nghịch, bằng cách gọi Bản mẫu:Mvar là một mở rộng trường (hay chỉ mở rộng) của Bản mẫu:Mvar, ký hiệu bằng

Bản mẫu:Math,

đọc là "Bản mẫu:Mvar trên Bản mẫu:Mvar".

Một thông tin cơ bản của một mở rộng trường là bậc của nó Bản mẫu:Math, tức là chiều của không gian vectơ Bản mẫu:Mvar trên Bản mẫu:Mvar. Nó thỏa mãn hệ thức[27]

Bản mẫu:Math.

Mở rộng có bậc hữu hạn được gọi là mở rộng hữu hạn. Các mở rộng Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math có bậc là 2, còn Bản mẫu:Math là một mở rộng vô hạn.

Mở rộng đại số

Một khái niệm quan trọng trong việc nghiên cứu mở rộng trường Bản mẫu:Math là phần tử đại số. Một phần tử Bản mẫu:Math gọi là đại số trên Bản mẫu:Mvar nếu nó là nghiệm của một đa thức với hệ số thuộc Bản mẫu:Mvar, tức là nó thỏa mãn phương trình đa thức

Bản mẫu:Math,

với Bản mẫu:Math in Bản mẫu:Mvar, và Bản mẫu:Math. Ví dụ, đơn vị ảo Bản mẫu:Mvar trong Bản mẫu:Math là đại số trên Bản mẫu:Math, thậm chí là trên Bản mẫu:Math, do nó thỏa mãn phương trình

Bản mẫu:Math.

Một mở rộng trường Bản mẫu:Math mà trong đó mọi phần tử của Bản mẫu:Mvar đại số trên Bản mẫu:Mvar được gọi là mở rộng đại số. Bất kỳ mở rộng hữu hạn nào cũng là mở rộng đại số, có thể suy ra từ hệ thức bậc của mở rộng trường ở trên.[28]

Trường con Bản mẫu:Math sinh ra bởi phần tử Bản mẫu:Mvar như trên, là một mở rộng đại số của Bản mẫu:Mvar khi và chỉ khi Bản mẫu:Mvar là một phần tử đại số. Có nghĩa là, nếu Bản mẫu:Mvar đại số, tất cả phần tử khác của Bản mẫu:Math cũng là đại số. Hơn nữa, bậc của mở rộng Bản mẫu:Math, bằng với số Bản mẫu:Mvar nhỏ nhất sao cho tồn tại một phương trình đa thức bậc Bản mẫu:Mvar nhận Bản mẫu:Mvarlàm nghiệm. Khi ấy các phần tử của Bản mẫu:Math có dạng

∑k=0n−1akxk,  ak∈E.

Ví dụ, trường Bản mẫu:Math của số hữu tỉ Gauss là trường con của Bản mẫu:Math bao gồm tất cả các số có dạng Bản mẫu:Math trong đó both Bản mẫu:Math and Bản mẫu:Math are số hữu tỉ: những số hạng có dạng Bản mẫu:Math (và tương tự với số mũ cao hơn) không cần phải xem xét, do Bản mẫu:Math rút gọn thành Bản mẫu:Math.

Cơ sở siêu việt

Trường phân thức Bản mẫu:Math nói trên không là mở rộng đại số của Bản mẫu:Mvar do không tồn tại phương trình đa thức nào có hệ số thuộc Bản mẫu:Mvar mà có nghiệm là Bản mẫu:Mvar. Những phần tử không đại số, như Bản mẫu:Mvar, được gọi là siêu việt. Nói đơn giản, ẩn Bản mẫu:Mvar và lũy thừa của nó không tác động đến các phần tử của Bản mẫu:Mvar. Ta có thể xây dựng tương tự với nhiều ẩn, không chỉ một.

Một lần nữa, mở rộng trường Bản mẫu:Math xét trên là một ví dụ chính: nếu Bản mẫu:Mvar không đại số (tức Bản mẫu:Mvar không là nghiệm của một đa thức có hệ số thuộc Bản mẫu:Mvar), thì Bản mẫu:Math đẳng cấu với Bản mẫu:Math. Đẳng cấu này được suy ra từ việc thay Bản mẫu:Mvar vào Bản mẫu:Mvar trong các phân thức.

Một tập con Bản mẫu:Mvar của trường Bản mẫu:Mvar là một cơ sở siêu việt nếu như nó độc lập đại số (không thỏa bất kỳ phương trình đa thức nào) trên Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar là mở rộng đại số của Bản mẫu:Math. Bất kỳ mở rộng trường Bản mẫu:Math nào cũng có một cơ sở siêu việt.[29] Do đó, mở rộng trường có thể phân thành hai dạng: Bản mẫu:Math (mở rộng siêu việt) và mở rộng đại số.

Phép toán đóng

Một trường gọi là đóng đại số nếu như nó không có mở rộng đại số nào lớn hơn thực sự, hoặc tương đương, nếu bất kì phương trình đa thức

Bản mẫu:Math, với các hệ số Bản mẫu:Math,

có nghiệm Bản mẫu:Math.[30] Theo định lý cơ bản của đại số, Bản mẫu:Math là một trường đóng đại số, tức là bất kỳ phương trình đa thức với hệ số phức nào cũng có nghiệm phức. Số hữu tỉ và số thực không đóng đại số do phương trình

Bản mẫu:Math

không có nghiệm hữu tỉ hay nghiệm thực. Một trường chứa Bản mẫu:Mvar gọi là một bao đóng đại số của Bản mẫu:Mvar nếu nó đại số trên Bản mẫu:Mvar (đại khái, không quá lớn so với Bản mẫu:Mvar) và đóng đại số (đủ lớn để chứa nghiệm của tất cả phương trình đa thức).

Theo như trên, Bản mẫu:Math là một bao đóng đại số của Bản mẫu:Math. Trường hợp bao đóng đại số là một mở rộng hữu hạn của trường Bản mẫu:Mvar khá đặc biệt: theo định lý Artin-Schreier, bậc của mở rộng đó phải bằng 2, và Bản mẫu:Mvar tương đương cơ bản (elementary equivalence) với Bản mẫu:Math. Những trường như thế còn gọi là trường thực đóng.

Bất kỳ trường Bản mẫu:Mvar nào cũng có một bao đóng đại số, và nó là duy nhất theo phép đẳng cấu. Từ đó, bao đóng này thường được nhắc chung và ký hiệu là Bản mẫu:Overline. Ví dụ, bao đóng đại số Bản mẫu:Math của số hữu tỉ Bản mẫu:Math gọi là trường số đại số. Sự tồn tại và duy nhất của bao đóng đại số có thể được chứng minh sử dụng định lý ideal nguyên tố Boole, một tiên đề trong lý thuyết tập hợp yếu hơn tiên đề chọn.[31] Về mặt này, bao đóng đại số của Bản mẫu:Math là hợp của tất cả trường hữu hạn chứa Bản mẫu:Math (những trường có bậc Bản mẫu:Math). Với trường đóng đại số Bản mẫu:Mvar đặc số 0, bao đóng đại số của trường Bản mẫu:Math của chuỗi Laurent là trường các chuỗi Puiseux, tạo bởi thêm các ghiệm của Bản mẫu:Mvar.[32]

Trường với tính chất khác

Do sự phổ biến trong toán học, vài điều chỉnh trong khái niệm trường được đưa ra để phù hợp với nhu cầu của những ngành khác nhau.

Trường sắp thứ tự

Bản mẫu:Main Một trường Bản mẫu:Mvar được gọi là trường sắp thứ tự nếu bất kỳ hai phần tử nào cũng có thể được so sánh, sao cho Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math nếu Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math. Lấy ví dụ, các số thực tạo thành một trường sắp thứ tự, với quan hệ thứ tự Bản mẫu:Math. Định lý Artin-Schreier phát biểu rằng một trường có thể sắp thứ tự nếu và chỉ nếu nó là một trường thực hình thức, nghĩa là phương trình bậc hai

x12+x22+…+xn2=0

chỉ có nghiệm Bản mẫu:Math.[33] Tập tất cả những quan hệ thứ tự khả dĩ trên một trường Bản mẫu:Mvar đẳng cấu với tập các đồng cấu vành từ vành Witt Bản mẫu:Math của các dạng toàn phương trên Bản mẫu:Mvar, đến Bản mẫu:Math.[34]

Một trường Archimedes là một trường sắp thứ tự sao cho với mỗi phần tử tồn tại một biểu thức hữu hạn

Bản mẫu:Math

có giá trị lớn hơn phần tử đó, nói cách khác, không có phần tử lớn vô hạn. Tương tự, trường đó không chứa vô cùng bé (phần tử bé hơn tất cả số hữu tỉ); hay, trường đó đẳng cấu với một trường con của Bản mẫu:Math.

Mỗi tập số thực bị chặn đều có một cận trên nhỏ nhất.

Một trường sắp thứ tự gọi là đầy đủ Dedekind nếu mọi tập con bị chặn của Bản mẫu:Mvar phải có cận trên đúng. Bất kỳ trường đầy đủa nào cũng là trường Archimedes.[35]

Do bất kỳ trường con thực sự nào của tập số thực cũng chứa "khoảng trống", Bản mẫu:Math là trường sắp thứ tự đầy đủ duy nhất, xét theo đẳng cấu.[36] Một số kết quả quan trọng trong giải tích suy ra từ tính chất này của tập số thực.

Các số siêu thực Bản mẫu:Math tạo thành một trường sắp thứ tự nhưng không là Archimedes. Nó là mở rộng của trường số thực bằng cách thêm những số vô cùng lớn (lớn hơn mọi số thực) và vô cùng bé (bé hơn mọi số thực).

Trường tôpô

Một điều chỉnh khác trong khái niệm trường là một trường tôpô, trong đó tập Bản mẫu:Mvar là một không gian tôpô, sao cho tất cả phép toán của trường (cộng, nhân, các ánh xạ Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math) là ánh xạ liên tục đối với tôpô của không gian.[37] Tôpô của tất cả những trường xét đến bên dưới được cảm sinh từ một mêtric, tức là hàm số

Bản mẫu:Math

đo khoảng cách giữa hai phần tử của Bản mẫu:Mvar.

Hoàn chỉnh của Bản mẫu:Mvar là một trường khác mà trong đó, nói đại khái, những "khoảng trống" trong Bản mẫu:Mvar được lấp đầy. Ví dụ, bất kỳ số vô tỉ Bản mẫu:Mvar nào, như Bản mẫu:Math, là một "khoảng trống" trong các số hữu tỉ Bản mẫu:Math mà có thể được xấp xỉ gần tùy ý với số hữu tỉ Bản mẫu:Math, tức là khoảng cách giữa Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Math là giá trị tuyệt đối Bản mẫu:Math có thể nhỏ tùy ý. Bảng sau liệt kê một số ví dụ của việc xây dựng này. Cột thứ tư cho một ví dụ của dãy không, một dãy số có giới hạn (khi Bản mẫu:Math) bằng 0.

Trường Mêtric Hoàn thành Dãy không
Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math (hàm giá trị tuyệt đối thông thường) R Bản mẫu:Math
Bản mẫu:Math nhận được sử dụng định giá p-adic, với một số nguyên tố Bản mẫu:Mvar Bản mẫu:Math các số p-adic Bản mẫu:Math
Bản mẫu:Math (Bản mẫu:Mvar là trường bất kỳ) nhận dược sử dụng định giá Bản mẫu:Mvar-adic Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math

Trường Bản mẫu:Math được dùng trong lý thuyết số và lý thuyết Bản mẫu:Mvar-adic. Bao đóng đại số Bản mẫu:Math tuy không đầy đủ, nhưng hoàn thành của nó là đóng đại số. Do có phần giống với các số phức, nó được gọi là trường số p-adic phức và ký hiệu là Bản mẫu:Math.[38]

Trường địa phương

Những trường tôpô sau được gọi là trường địa phương:[39][nb 4]

Hai dạng trường địa phương này có chung một số tính chất cơ bản. Trong đó, phần tử Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math (gọi là uniformizer) tương ứng với nhau. Bằng chứng đầu tiên của sự tương quan ở mức độ phần tử: phần tử của cả hai trường có thể được biểu diễn thành chuỗi lũy thừa của uniformizer, với hệ số trong Bản mẫu:Math. (Tuy nhiên, do phép cộng trong Bản mẫu:Math sử dụng nhớ còn Bản mẫu:Math thì không, hai trường này không đẳng cấu). Sự tương quan này còn đi sâu hơn nữa. Ví dụ, bất kỳ mệnh đề bậc nhất đúng với hầu hết Bản mẫu:Math cũng đúng với hầu hết Bản mẫu:Math. Một ứng dụng là Định lý Ax–Kochen mô tả các nghiệm của đa thức thuần nhất trong Bản mẫu:Math.

Trường vi phân

Trường vi phân là những trường mà trên đó có phép lấy đạo hàm những phần tử trong trường.[40] Ví dụ, trường Bản mẫu:Math, cùng với đạo hàm bình thường của đa thức tạo thành một trường vi phân. Những trường này là đối tượng chính của lý thuyết Galois vi phân, một nhánh của lý thuyết Galois nghiên cứu các phương trình vi phân tuyến tính.

Lý thuyết Galois

Bản mẫu:Main

Lý thuyết Galois nghiên cứu mở rộng đại số của trường bằng cách xem xét sự đối xứng trong những phép toán cộng và nhân. Một khái niệm quan trọng trong lĩnh vực này là mở rộng Galois hữu hạn Bản mẫu:Math, mà theo định nghĩa là tách được và chuẩn tắc. Định lý phần tử nguyên thủy chỉ ra rằng mở rộng hữu hạn tách được là đơn giản, tức là nó có dạng

Bản mẫu:Math,

trong đó Bản mẫu:Mvar là một đa thức bất khả quy.[41] Với mở rộng như vậy, việc chuẩn tắc và tách được nghĩa là tất cả nghiệm của Bản mẫu:Mvar nằm trong Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar chỉ có nghiệm đơn giản. Điều kiện sau luôn được thỏa mãn nếu trường Bản mẫu:Mvar có đặc số 0.

Với một mở rộng Galois hữu hạn, nhóm Galois Bản mẫu:Math là nhóm của những phép tự đẳng cấu trường của Bản mẫu:Mvar mà tầm thường trên Bản mẫu:Mvar (tức là những song ánh Bản mẫu:Math giữ nguyên phép cộng và phép nhân và biến những phần tử của Bản mẫu:Mvar thành chính nó). Tầm quan trọng của nhóm này bắt nguồn từ định lý cơ bản của lý thuyết Galois, đã xây dựng một tương ứng một-một giữa tập các nhóm con của Bản mẫu:Math và tập những mở rộng trung gian của mở rộng Bản mẫu:Math.[42] Bằng tương ứng này, những tính chất của nhóm biến thành những tính chất của trường. Ví dụ, nếu nhóm Galois của một mở rộng Galois trên không giải được (không thể xây dựng từ nhóm giao hoán), thì các nghiệm của Bản mẫu:Mvar không thể biểu diễn dưới dạng tổng, tích hay khai căn. Ví dụ, nhóm đối xứng Bản mẫu:Math không giải được với Bản mẫu:Math. Hệ quả là nghiệm của những phương trình sau không biểu diễn được thành tổng, tích hay căn. Với đa thức thứ hai, kết quả này được biết là định lý Abel–Ruffini:

Bản mẫu:Math (và Bản mẫu:Math),[43]
Bản mẫu:Math (trong đó Bản mẫu:Mvar là một đa thức trong Bản mẫu:Math, với các ẩn Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Mvar là trường bất kỳ và Bản mẫu:Math).

Tích tensor của trường thường không phải là một trường. Ví dụ, mở rộng hữu hạn Bản mẫu:Math với bậc Bản mẫu:Mvar là một mở rộng Galois khi và chỉ khi tồn tại một đẳng cấu của các đại số Bản mẫu:Mvar:

Bản mẫu:Math.

Kết quả này đã bắt đầu cho lý thuyết Galois của Grothendieck, một mở rộng của lý thuyết Galois có tầm ảnh lớn.[44]

Bất biến của trường

Những bất biến cơ bản của trường Bản mẫu:Mvar bao gồm đặc số và bậc siêu việt (số phần tử tối đa của Bản mẫu:Mvar độc lập đại số trên trường nguyên tố) của Bản mẫu:Mvar trên trường nguyên tố. Hai trường đóng đại số Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar đẳng cấu khi và chỉ khi hai dữ kiện trên bằng nhau.[45] Điều này nghĩa là hai trường đóng đại số không đếm được có cùng lực lượng và cùng đặc số thì đẳng cấu. Lấy ví dụ, Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math là đẳng cấu (nhưng không đẳng cấu như trường tôpô).

Lý thuyết mô hình của trường

Trong lý thuyết mô hình, một nhánh của logic toán, hai trường Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar được gọi là tương đương phần tử nếu mọi phát biểu toán học đúng với Bản mẫu:Mvar cũng đúng với Bản mẫu:Mvar và ngược lại. Những mệnh đề đó phải là những phát biểu bậc nhất (bao gồm 0, 1, phép nhân và phép cộng). Một ví dụ điển hình là

Bản mẫu:Math = "với mọi số nguyên dương Bản mẫu:Mvar, bất kỳ đa thức bậc Bản mẫu:Mvar trong Bản mẫu:Mvar cũng có nghiệm thuộc Bản mẫu:Mvar" (tương đương với việc Bản mẫu:Mvar đóng đại số).

Nguyên lý Lefschetz phát biểu rằng Bản mẫu:Math tương đương phần tử với bất kỳ trường đóng đại số đặc số không. Hơn nữa, bất kỳ phát biểu Bản mẫu:Math đúng trong Bản mẫu:Math khi và chỉ khi nó đúng trong mọi trường đóng đại số có đặc số đủ cao.[46]

Nhóm Galois tuyệt đối

Bản mẫu:Chính Với trường không đóng đại số, nhóm Galois tuyệt đối Bản mẫu:Math rất quan trọng: tổng quát trường hợp mở rộng Galois hữu hạn ở trên, nhóm này kiểm soát tất cả mở rộng hữu hạn tách được của Bản mẫu:Mvar. Bằng phương pháp sơ cấp, nhóm Bản mẫu:Math có thể được chứng minh là nhóm Prüfer, hoàn thành cận hữu hạn của Bản mẫu:Math. Phát biểu này bao hàm việc những mở rộng đại số duy nhất của Bản mẫu:Math là các trường Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Math, và nhóm Galois của những mở rộng hữu hạn này được cho bởi

Bản mẫu:Math.

Biểu diễn của nhóm Galois và những nhóm liên quan như nhóm Weil có tầm quan trọng trong số học, ví dụ như chương trình Langlands. Nghiên cứu đối đồng điều của những biểu diễn đó sử dụng đối đồng điều Galois.[47] Lấy ví dụ, nhóm Brauer, thường được định nghĩa là nhóm của [[Đại số trung tâm đơn giản|Bản mẫu:Mvar-đại số trung tâm đơn giản]], có thể được xem là một nhóm đối đồng điều Galois:

Bản mẫu:Math.

K-lý thuyết

K-lý thuyết Milnor được định nghĩa là

KnM(F)=F×⊗⋯⊗F×/⟨x⊗(1−x)∣x∈F∖{0,1}⟩.

Định lý đẳng cấu thặng dư norm, chứng minh vào khoảng trước năm 2000 bởi Vladimir Voevodsky, liên hệ với đối đồng điều Galois bằng đẳng cấu

KnM(F)/p=Hn(F,μl⊗n).

K-Lý thuyết đại số liên quan đến nhóm các ma trận khả nghịch với hệ số thuộc một trường nhất định. Ví dụ, quá trình lấy định thức của một ma trận khả nghịch cho ta đẳng cấu Bản mẫu:Math. Định lý Matsumoto chứng minh rằng Bản mẫu:Math bằng với Bản mẫu:Math. Ở những bậc cao hơn, K-lý thuyết khác với K-lý thuyết Milnor và nhìn chung khó để tính.

Ứng dụng

Đại số tuyến tính và đại số giao hoán

Góc Euler cho thấy mối liên hệ giữa các hệ tọa độ khác nhau, như cơ sở của Bản mẫu:Math. Chúng được sử dụng trong đồ họa máy tính.

Nếu Bản mẫu:Math, thì phương trình

Bản mẫu:Math

có nghiệm duy nhất Bản mẫu:Mvar thuộc Bản mẫu:Mvar, đó là Bản mẫu:Math. Hệ quả của định nghĩa của trường là một thành phần quan trọng để cho thấy bất kỳ không gian vectơ nào cũng có một cơ sở.[48] Nói đơn giản, điều này cho phép ta chọn một hệ tọa độ trong một không gian vectơ bất kỳ, điều vô cùng quan trọng trong đại số tuyến tính về cả lý thuyết lẫn ứng dụng.

Môđun (khái niệm tương tự với không gian vectơ) trên hầu hết vành, bao gồm vành số nguyên Bản mẫu:Math, có cấu trúc phức tạp hơn. Một trường hợp đặc biệt nảy sinh khi một vành Bản mẫu:Mvar là một không gian vectơ trên trường Bản mẫu:Mvar. Những trường như thế được gọi là [[Đại số trên một trường|Bản mẫu:Mvar-đại số]] và được nghiên cứu kỹ càng trong đại số giao hoán. Ví dụ, bổ đề chuẩn hóa Noether khẳng định rằng bất kỳ [[Đại số hữu hạn sinh|Bản mẫu:Mvar-đại số hữu hạn sinh]] có liên hệ mật thiết (chính xác hơn, là một môđun sinh hữu hạn trên) một vành đa thức Bản mẫu:Math.[49]

Trường hữu hạn: mật mã và lý thuyết mã hóa

Tổng của ba điểm P, Q, và R trên đường cong elliptic Bản mẫu:Mvar (đỏ) bằng không nếu tồn tại một đường thẳng (xanh) đi qua các điểm đó.

Một thuật toán mã hóa được áp dụng rộng rãi dựa trên một sự thật cơ bản, đó là tính lũy thừa rời rạc

Bản mẫu:Math (Bản mẫu:Mvar thừa số, với số nguyên Bản mẫu:Math)

trong một trường hữu hạn Bản mẫu:Math (lớn) có thể được thực hiện nhanh hơn rất nhiều so với lôgarit rời rạc, tương đương với phép toán ngược lại, tức là xác định nghiệm Bản mẫu:Mvar của phương trình

Bản mẫu:Math.

Trong mật mã đường cong elliptic, phép nhân trong một trường hữu hạn được thay thế bằng phép cộng các điểm trên một đường cong elliptic, một đường cong định nghĩa bởi phương trình

Bản mẫu:Math.

Trường hữu hạn cũng được sử dụng trong lý thuyết mã hóa và tổ hợp.

Hình học: trường các hàm số

Một mặt Riemann compact với giống (genus) 2. Giống có thể được tính từ trường các hàm phân hình trên mặt.

Hàm số trên một không gian tôpô thích hợp Bản mẫu:Mvar vào một trường Bản mẫu:Mvar có thể được cộng và nhân tại từng điểm, ví dụ, tích của hai hàm số được định nghĩa là tích từng giá trị của chúng trong tập xác định:

Bản mẫu:Math.

Điều này khiến những hàm này là một Bản mẫu:Mvar-đại số giao hoán.

Để có một trường các hàm số, cần phải xét những đại số của hàm là miền nguyên. Trong trường hợp này tỉ số của hai hàm số, có dạng

f(x)g(x)

tạo thành một trường, gọi là trường các hàm số.

Nếu Bản mẫu:Mvar là một đa tạp phức, ta xét đại số của những hàm chỉnh hình, những hàm khả vi phức. Tỉ số của chúng tạo thành trường các hàm phân hình trên Bản mẫu:Mvar.

Trường hàm của một đa tạp đại số Bản mẫu:Mvar (một vật thể hình học gồm những nghiệm chung của các phương trình đa thức) gồm tỉ số của những hàm chính quy, tức tỉ số các hàm đa thức trên đa tạp. Trường hàm của không gian Bản mẫu:Mvar chiều trên một trường Bản mẫu:Math là Bản mẫu:Math. Trường hàm của Bản mẫu:Mvar bằng với trường hàm của một đa tạp con trù mật mở. Nói cách khác, trường hàm không thay đổi thi thay Bản mẫu:Mvar với một đa tạp con nhỏ hơn.

Lý thuyết số: trường toàn cục

Trường toàn cục là trung tâm của lý thuyết số đại số và hình học số học. Theo định nghĩa, trường toàn cục là những trường số (mở rộng hữu hạn của Bản mẫu:Math) hoặc trường hàm trên Bản mẫu:Math (mở rộng hữu hạn của Bản mẫu:Math). Hai loại trường này có chung một số tính chất, mặc dù chúng có đặc số lần lượt là 0 và dương. Sự tương quan giữa hai trường này giúp hình thành các phỏng đoán toán học, thường là hiểu bản chất của trường các hàm trước rồi xét đến trường số. Ví dụ, giả thuyết Riemann liên quan đến các nghiệm của hàm zeta Riemann (chưa được chứng minh đến năm 2019) có thể được xem là tương quan với giả thuyết Weil (được chứng minh năm 1974 bởi Pierre Deligne).

Các nghiệm đơn vị cấp năm tạo thành một ngũ giác đều.

Trường chia đường tròn là một trong những đối tượng được nghiên cứu nhiều nhất trong lý thuyết số. Chúng có dạng Bản mẫu:Math, trong đó Bản mẫu:Math là một nghiệm đơn vị nguyên thủy bậc Bản mẫu:Mvar, một số phức thỏa Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math với mọi Bản mẫu:Math.[50] Trong trường hợp Bản mẫu:Mvar là một số nguyên tố chính quy, Kummer sử dụng trường chia đường tròn để chứng minh định lý lớn Fermat, khẳng định không tồn tại nghiệm nguyên khác không của phương trình

Bản mẫu:Math.

Trường địa phương là hoàn thành của trường toàn cục. Định lý Ostrowski khẳng định rằng những hoàn thành duy nhất của trường toàn cục Bản mẫu:Math là các trường địa phương Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math. Những câu hỏi số học trong trường toàn cục đôi khi được giải quyết bằng cách nhìn từ góc độ địa phương. Kỹ thuật này được gọi là nguyên lý địa phương-toàn cục. Ví dụ, định lý Hasse–Minkowski thu gọn bài toán tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình bậc hai xuống còn giải những phương trình đó trong Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math, với nghiệm có thể được dễ dàng nghiên cứu.[51]

Không như trường địa phương, nhóm Galois của trường toàn cục chưa được biết đến. Bài toán Galois nghịch đặt câu hỏi liệu mọi nhóm hữu hạn có phải là nhóm Galois Bản mẫu:Math của một trường số Bản mẫu:Mvar nào đó.[52] Lý thuyết trường các lớp mô tả các mở rộng abel, những mở rộng với nhóm giao hoán Galois. Định lý Kronecker–Weber, mô tả những mở rộng abel Bản mẫu:Math cực đại của Bản mẫu:Math: trường

Bản mẫu:Math

nhận được bằng cách thêm tất cả nghiệm đơn vị nguyên thủy cấp Bản mẫu:Mvar. Bài toán thứ mười hai của Hilbert yêu cầu một mô tả cụ thể của Bản mẫu:Math của một trường số Bản mẫu:Mvar nói chung. Với các trường bậc hai ảo, Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math, có thể mô tả Bản mẫu:Math sử dụng đường cong elliptic. Trong trường hợp trường số tổng quát, bài toán vẫn chưa được giải quyết.

Khái niệm liên quan

Ngoài những cấu trúc phụ thêm vào trường, có một số khái niệm khác liên quan đến trường. Do trong một trường Bản mẫu:Math, bất kỳ trường nào cũng có ít nhất hai phần tử. Tuy nhiên, có khái niệm trường có một phần tử, được đề nghị là giới hạn của những trường hữu hạn Bản mẫu:Math, khi Bản mẫu:Mvar tiến đến 1.[53] Ngoài vành chia, còn một số cấu trúc đại số yếu hơn liên quan tới trường như tựa trường, gần-trường và nửa trường.

Vành chia

Bản mẫu:Chính

Định lý quả bóng lông phát biểu rằng không thể chải xuôi tóc trên một mặt cầu. Chính xác hơn, không có một trường vectơ tiếp tuyến liên tục nào trên mặt cầu Bản mẫu:Math, mà khác không tại mọi điểm.

Bỏ một hoặc vài tiên đề trong định nghĩa của trường dẫn đến nhiều cấu trúc đại số khác. Như đã nói ở trên, vành giao hoán thỏa mãn tất cả tính chất của trường, ngoại trừ sự tồn tại của phần tử nghịch đảo phép nhân. Nếu ta bỏ điều kiện phép nhân có tính giao hoán thì dẫn đến khái niệm của một vành chia.[nb 5] Những vành chia duy nhất là Bản mẫu:Math-không gian vectơ hữu hạn chiều là chính Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math (một trường), những số quaternion Bản mẫu:Math (trong đó phép nhân không có tính giao hoán), và octonion Bản mẫu:Math (trong đó phép nhân không giao hoán và không kết hợp). Điều này được chứng minh sử dụng các phương pháp của tôpô đại số năm 1958 bởi Michel Kervaire, Raoul Bott, và John Milnor.[54] Sự không tồn tại của một đai số chia có số chiều lẻ đã được biết từ trước đó và có thể được suy ra từ định lý quả bóng lông.

Ghi chú

Bản mẫu:Tham khảo

Bản mẫu:Tham khảo

Tham khảo

Bản mẫu:Refbegin

Bản mẫu:Refend Bản mẫu:Kiểm soát tính nhất quán Bản mẫu:Đại số Bản mẫu:Toán học

  1. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  2. ↑ Bản mẫu:Harvtxt.
  3. ↑ Bản mẫu:Harvtxt.
  4. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  5. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  6. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  7. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  8. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  9. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  10. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  11. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  12. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  13. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  14. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  15. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  16. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  17. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  18. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  19. ↑ Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (F)
  20. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  21. ↑ Bản mẫu:Harvtxt. Xem thêm Bản mẫu:Harvtxt.
  22. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  23. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  24. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  25. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  26. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  27. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  28. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  29. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  30. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  31. ↑ Bản mẫu:Harvtxt. Câu hỏi Mathoverflow
  32. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  33. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  34. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  35. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  36. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  37. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  38. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  39. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  40. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  41. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  42. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  43. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  44. ↑ Bản mẫu:Harvtxt. Xem thêm nhóm cơ bản Étale.
  45. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  46. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  47. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  48. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  49. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  50. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  51. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  52. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  53. ↑ Bản mẫu:Harvtxt
  54. ↑ Bản mẫu:Harvtxt


Lỗi chú thích: Đã tìm thấy thẻ <ref> với tên nhóm “nb”, nhưng không tìm thấy thẻ tương ứng <references group="nb"/> tương ứng

Lấy từ “https://vi.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Trường_(đại_số)&oldid=601”