Gốc của một i-đê-an

Trong lý thuyết vành giao hoán, một nhánh của toán học, gốc của một i-đê-an $I$ (hay cũng gọi là ra-đi-can của $I$, cũng viết là radical) là một i-đê-an sao cho một phần tử $x$ là một phần tử trong gốc và chỉ khi một lũy thừa của $x$ nằm trong $I$. Một i-đê-an gốc (hay i-đê-an bán nguyên tố) là một i-đê-an có gốc bằng với chính nó. Gốc của một i-đê-an sơ cấp là một i-đê-an nguyên tố.

Khái niệm này được khái quát cho các vành không giao hoán trong bài viết về vành bán nguyên tố.

Định nghĩa

Gốc của một i-đê-an $I$ trong một vành giao hoán $R$, ký hiệu $\mathrm{rad}(I)$ hoặc là $\sqrt{I}$, được định nghĩa là

$\sqrt{I}=\{r\in R\mid \mathrm{\exists }n\in {\mathbb{Z}}^{+}:r^n\in I\}$

Ví dụ

• Xét vành $\mathbb{Z}$ các số nguyên.

1. Gốc của $4\mathbb{Z}$ là $2\mathbb{Z}$.
2. Gốc của $5\mathbb{Z}$ là $5\mathbb{Z}$.
3. Gốc của $12\mathbb{Z}$ là $6\mathbb{Z}$.
4. Gốc của $m\mathbb{Z}$ là $r\mathbb{Z}$ với $r$ là tích các ước số nguyên tố phân biệt của $m$.

• Xét i-đê-an $I=(y^4)\subset ℂ[x,y].$ Ta có $\sqrt{I}=(y)$.

Tính chất

Xét một vành giao hoán $R$:

• Ta có $\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}$.
• $\sqrt{I}$ là giao của các i-đê-an nguyên tố chứa $I$

  $\sqrt{I}=\bigcap _{\begin{array}{c}𝔭\text{ nguyên tố}\\ R⊋𝔭\supseteq I\end{array}}𝔭$

• Một i-đê-an $I$ của một vành $R$ là một i-đê-an gốc khi và chỉ khi vành thương $R/I$ là một vành giảm.

Tham khảo

• M. Atiyah, IG Macdonald, Giới thiệu về Đại số giao hoán, Addison-Wesley, 1994. Bản mẫu:ISBN Mã số   0-201-40751-5
• Eisenbud, David, Đại số giao hoán với quan điểm hướng tới hình học đại số, văn bản cao học toán học, 150, Springer-Verlag, 1995, Bản mẫu:ISBN.
• Lang, Serge (2002), ‘’Đại số’’, Văn bản cao học Toán học, 211 (Sửa đổi lần thứ ba.), New York: Springer-Verlag, ISBN   Lang, Serge Lang, SergeMR   1878556, Zbl   0984.00001