Phương pháp Newton

Trong giải tích số, phương pháp Newton (còn được gọi là phương pháp Newton–Raphson), đặt tên theo Isaac Newton và Joseph Raphson, là một phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ gần đúng của một hàm số có tham số thực.

$x:f(x)=0.$

Phương pháp Newton–Raphson với một biến được thực hiện như sau

Phương pháp này bắt đầu với một hàm Bản mẫu:Math  được xác định qua số thực Bản mẫu:Math, với đạo hàm Bản mẫu:Math, và một số gần đúng Bản mẫu:Math ban đầu sát với nghiệm của  Bản mẫu:Math. Nếu chức năng đáp ứng các giả định được đưa ra trong công thức đạo hàm và số dự đoán ban đầu gần với nghiệm số, thì một phép xấp xỉ tốt hơn Bản mẫu:Math là

$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}.$

Về mặt hình học, Bản mẫu:Math là điểm giao giữa trục Bản mẫu:Math và tiếp tuyến của đồ thị của Bản mẫu:Math tại Bản mẫu:Math.

Quá trình được lặp lại với

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$

cho đến khi đạt được một giá trị nghiệm với độ chính xác cần thiết.

Thuật toán này là đầu tiên trong nhóm thuật toán của các phương pháp Householder, tiếp theo là phương pháp Halley. Phương pháp này cũng có thể được mở rộng cho các hàm số phức và các hệ phương trình.

Sách tham khảo và đọc thêm

• Kendall E. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, (1989) John Wiley & Sons, Inc, Bản mẫu:Isbn
• Tjalling J. Ypma, Historical development of the Newton-Raphson method, SIAM Review 37 (4), 531–551, 1995. Bản mẫu:Doi.
• Bản mẫu:Chú thích sách
• P. Deuflhard, Newton Methods for Nonlinear Problems. Affine Invariance and Adaptive Algorithms. Springer Series in Computational Mathematics, Vol. 35. Springer, Berlin, 2004. Bản mẫu:Isbn.
• C. T. Kelley, Solving Nonlinear Equations with Newton's Method, no 1 in Fundamentals of Algorithms, SIAM, 2003. Bản mẫu:Isbn.
• J. M. Ortega, W. C. Rheinboldt, Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. Classics in Applied Mathematics, SIAM, 2000. Bản mẫu:Isbn.
• Bản mẫu:Chú thích sách. See especially Sections 9.4 Bản mẫu:Webarchive, 9.6 Bản mẫu:Webarchive, and 9.7 Bản mẫu:Webarchive.
• Endre Süli and David Mayers, An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, 2003. Bản mẫu:Isbn.
• Bản mẫu:Cite document.
• Gil, A., Segura, J., & Temme, N. M., Numerical methods for special functions (2007) Society for Industrial and Applied Mathematics.